Calcule:
\int_{0}^{4} x \cdot e^{3 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{4} x \,e^{3x}\,dx
O conteúdo que vamos usar é o método de integração por partes, pois temos um produto de função polinomial x e exponencial e^{3x}.

Passo 2

Escolhemos
u = x,\quad dv = e^{3x}\,dx
então
du = dx,\quad v = \int e^{3x}\,dx = \frac{1}{3}e^{3x}.
Aplicando a fórmula
\int u\,dv = uv - \int v\,du
temos
\int x\,e^{3x}\,dx = x\cdot\frac{1}{3}e^{3x} \;-\; \int \frac{1}{3}e^{3x}\,dx = \frac{x}{3}e^{3x} \;-\; \frac{1}{9}e^{3x} + C.

Passo 3

Agora avaliamos essa primitiva de 0 a 4:
\left[\frac{x}{3}e^{3x} - \frac{1}{9}e^{3x}\right]_{0}^{4} = \Bigl(\frac{4}{3}e^{12} - \frac{1}{9}e^{12}\Bigr)\;-\;\Bigl(0 - \frac{1}{9}\Bigr) = \frac{11}{9}e^{12} + \frac{1}{9}.

Resposta

\frac{11e^{12} + 1}{9}

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