Calcule:
\int x \cdot \ln (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x \ln(x)\,dx
O conteúdo aqui é integração por partes, que usa a fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(x),\quad dv = x\,dx.
Então
du = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
\int x\ln(x)\,dx = u\,v - \int v\,du = \ln(x)\cdot\frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx.
Isso dá
\frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{x^2}{4} + C.

Resposta

\frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{x^2}{4} + C.

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