Calcule: \int x \cdot \ln (x) d x Passo 1O enunciado pede para calcular a integral indefinida \int x \ln(x)\,dx O conteúdo aqui é integração por partes, que usa a fórmula \int u\,dv = u\,v - \int v\,du. Passo 2Escolhemos u = \ln(x),\quad dv = x\,dx. Então du = \frac{1}{x}\,dx, \quad v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}. Passo 3Aplicando a fórmula de partes: \int x\ln(x)\,dx = u\,v - \int v\,du = \ln(x)\cdot\frac{x^2}{2} - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx. Isso dá \frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{1}{2}\int x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{1}{2}\cdot\frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{x^2}{4} + C. Resposta \frac{x^2}{2}\ln(x) - \frac{x^2}{4} + C. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosCalcule: \int_{0}^{4} x \cdot e^{3 x} d x Calcule: \int_{1}^{x^{2}} \ln (t+1) d t Calcule: \int x^{2} \cdot \ln (x) d x Calcule: \int \frac{5 x^{2}}{\sqrt{x^{3}-4}} d x