\int \frac{1-x+2 x^{2}-x^{3}}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x .
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
\int \frac{1 - x + 2x^{2} - x^{3}}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
Numerador: 1 - x + 2x^{2} - x^{3}.
Denominador: x\left(x^{2}+1\right)^{2}, ou seja, um fator linear \,x, e um fator quadrático irreduzível \,x^{2}+1, elevado ao quadrado.
O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função racional.
Passo 2
Vou usar decomposição em frações parciais porque a integranda é uma função racional cujo denominador se fatorou em fatores relativamente simples (x e (x^{2}+1)^{2}). A forma geral adequada para a decomposição é
\begin{aligned} \text{coeficiente de }x^{4}:&\quad A+B,\\\ \text{coeficiente de }x^{3}:&\quad C,\\\ \text{coeficiente de }x^{2}:&\quad 2A+B+D,\\\ \text{coeficiente de }x^{1}:&\quad C+E,\\\ \text{termo independente}:&\quad A. \end{aligned}
Esses coeficientes devem igualar os do polinômio à esquerda 1 - x + 2x^{2} - x^{3}, cujos coeficientes são:
x^{4}: 0,
x^{3}: -1,
x^{2}: 2,
x^{1}: -1,
constante: 1.
Igualando coeficientes obtemos o sistema:
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] C = -1,\\[4pt] 2A + B + D = 2,\\[4pt] C + E = -1,\\[4pt] A = 1. \end{cases}]
Passo 4
Resolvo o sistema passo a passo:
Da última equação A=1.
Da primeira A+B=0 segue 1+B=0, então B=-1.
Da segunda C=-1.
Da quarta C+E=-1 temos -1+E=-1, logo E=0.
Da terceira 2A+B+D=2 substituindo A=1 e B=-1 dá 2\cdot1-1+D=2, isto é 1+D=2 e portanto D=1.
Portanto os coeficientes são A=1, B=-1, C=-1, D=1, E=0.