Calcule
\int \frac{1-x+2 x^{2}-x^{3}}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}} d x .

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral indefinida
\int \frac{1 - x + 2x^{2} - x^{3}}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx.
Informações dadas e o que é pedido:
  • Numerador: 1 - x + 2x^{2} - x^{3}.
  • Denominador: x\left(x^{2}+1\right)^{2}, ou seja, um fator linear \,x, e um fator quadrático irreduzível \,x^{2}+1, elevado ao quadrado.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função racional.

Passo 2

Vou usar decomposição em frações parciais porque a integranda é uma função racional cujo denominador se fatorou em fatores relativamente simples ( x e (x^{2}+1)^{2}). A forma geral adequada para a decomposição é
\frac{1 - x + 2x^{2} - x^{3}}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}} = \frac{A}{x} + \frac{Bx+C}{x^{2}+1} + \frac{Dx+E}{\left(x^{2}+1\right)^{2}},
pois para o fator linear x usamos uma constante A e para o fator quadrático repetido usamos termos do tipo (Bx+C)/(x^{2}+1) e (Dx+E)/(x^{2}+1)^{2}.
Agora multiplico ambos os lados por x\left(x^{2}+1\right)^{2} para obter uma identidade polinomial:
1 - x + 2x^{2} - x^{3} = A\left(x^{2}+1\right)^{2} + (Bx+C)\,x\left(x^{2}+1\right) + (Dx+E)\,x.

Passo 3

Expando os termos do lado direito e organizo por potências de x.
Primeiro,
\left(x^{2}+1\right)^{2}=x^{4}+2x^{2}+1,
então
A\left(x^{2}+1\right)^{2}=A x^{4}+2A x^{2}+A.
Também
(Bx+C)\,x\left(x^{2}+1\right)=(Bx+C)(x^{3}+x)=B x^{4}+C x^{3}+B x^{2}+C x,
e
(Dx+E)\,x=D x^{2}+E x.
Somando tudo:
\begin{aligned} \text{coeficiente de }x^{4}:&\quad A+B,\\\ \text{coeficiente de }x^{3}:&\quad C,\\\ \text{coeficiente de }x^{2}:&\quad 2A+B+D,\\\ \text{coeficiente de }x^{1}:&\quad C+E,\\\ \text{termo independente}:&\quad A. \end{aligned}
Esses coeficientes devem igualar os do polinômio à esquerda 1 - x + 2x^{2} - x^{3}, cujos coeficientes são:
  • x^{4}: 0,
  • x^{3}: -1,
  • x^{2}: 2,
  • x^{1}: -1,
  • constante: 1.
Igualando coeficientes obtemos o sistema:
\begin{cases} A + B = 0,\\[4pt] C = -1,\\[4pt] 2A + B + D = 2,\\[4pt] C + E = -1,\\[4pt] A = 1. \end{cases}]

Passo 4

Resolvo o sistema passo a passo:
  • Da última equação A=1.
  • Da primeira A+B=0 segue 1+B=0, então B=-1.
  • Da segunda C=-1.
  • Da quarta C+E=-1 temos -1+E=-1, logo E=0.
  • Da terceira 2A+B+D=2 substituindo A=1 e B=-1 2\cdot1-1+D=2, isto é 1+D=2 e portanto D=1.
Portanto os coeficientes são A=1, B=-1, C=-1, D=1, E=0.
Substituindo na decomposição:
\frac{1 - x + 2x^{2} - x^{3}}{x\left(x^{2}+1\right)^{2}} = \frac{1}{x} + \frac{-x-1}{x^{2}+1} + \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}.

Passo 5

Agora integro termo a termo:
\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C_{1}.
Para o segundo termo,
\int \frac{-x-1}{x^{2}+1}\,dx = -\int \frac{x}{x^{2}+1}\,dx - \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx.
  • Para \int \dfrac{x}{x^{2}+1}\,dx faço a substituição u=x^{2}+1, então du=2x\,dx e \int \dfrac{x}{x^{2}+1}\,dx = \tfrac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right).
  • Para \int \dfrac{1}{x^{2}+1}\,dx = \arctan x.
Logo
\int \frac{-x-1}{x^{2}+1}\,dx = -\tfrac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right) - \arctan x + C_{2}.
Para o terceiro termo,
\int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx,
faço a mesma substituição u=x^{2}+1, du=2x\,dx. Então
\int \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx = \frac{1}{2}\int u^{-2}\,du = \frac{1}{2}\left(-u^{-1}\right) = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+1} + C_{3}.
Somando tudo (absorvendo C_{1}+C_{2}+C_{3} em uma constante única C) obtemos a primitiva:
\ln|x| - \tfrac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right) - \arctan x - \frac{1}{2(x^{2}+1)} + C.

Resposta

\ln|x| - \tfrac{1}{2}\ln\left(x^{2}+1\right) - \arctan x - \frac{1}{2(x^{2}+1)} + C

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