Exemplo 8

(a) Encontre a forma da decomposição em frações parciais da função
f(x)=\frac{x^{3}+x^{2}+1}{x(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}+1\right)^{3}}
(b) Como exercício, encontre os valores dos coeficientes e calcule
\int f(x) d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) encontrar a forma da decomposição em frações parciais de
f(x)=\frac{x^{3}+x^{2}+1}{x(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}+1\right)^{3}},
e (b) encontrar os coeficientes dessa decomposição e calcular \displaystyle \int f(x)\,dx.
Informações dadas / relevantes:
\text{denominador} = x\,(x-1)\,(x^{2}+x+1)\,(x^{2}+1)^{3}.
Observações úteis que vamos usar depois (resultantes da factorização padrão):
  • x^{2}+x+1 é um quadrático irredutível (raízes complexas \omega,\omega^{2} com \omega^{3}=1),
  • x^{2}+1 tem raízes \pm i e aparece com multiplicidade 3,
  • x e x-1 são fatores simples (linéares).
A partir daqui vou montar a forma geral da decomposição e resolver passo a passo para obter todos os coeficientes e, em seguida, integrar termo a termo.

Passo 2

Forma geral da decomposição (pelo tipo de fatores do denominador):
  • Para os fatores lineares simples \;x e \;x-1 usamos constantes:
\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}.
  • Para o quadrático irreduzível \;x^{2}+x+1 usamos numerador linear:
\frac{Cx+D}{x^{2}+x+1}.
  • Para (x^{2}+1)^{3} (quadrático repetido de ordem 3) usamos somatório de termos com numeradores lineares para cada potência:
\frac{E x+F}{x^{2}+1}+\frac{G x+H}{(x^{2}+1)^{2}}+\frac{I x+J}{(x^{2}+1)^{3}}.
Portanto a forma geral é
\frac{x^{3}+x^{2}+1}{x(x-1)(x^{2}+x+1)(x^{2}+1)^{3}}= \frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{Cx+D}{x^{2}+x+1}+\frac{E x+F}{x^{2}+1}+\frac{G x+H}{(x^{2}+1)^{2}}+\frac{I x+J}{(x^{2}+1)^{3}}.
Nosso objetivo é determinar A,B,C,D,E,F,G,H,I,J reais.

Passo 3

Multiplicamos a igualdade anterior pelo denominador completo para obter uma identidade polinomial:
x^{3}+x^{2}+1 = A(x-1)(x^{2}+x+1)(x^{2}+1)^{3} + B x (x^{2}+x+1)(x^{2}+1)^{3}
\qquad + (Cx+D)\,x(x-1)(x^{2}+1)^{3} + (E x+F)\,x(x-1)(x^{2}+x+1)(x^{2}+1)^{2}
\qquad + (G x+H)\,x(x-1)(x^{2}+x+1)(x^{2}+1) + (I x+J)\,x(x-1)(x^{2}+x+1).
Agora eu vou avaliar essa identidade em pontos estratégicos para obter alguns coeficientes direto.
Avaliação em x=0:
  • Lado esquerdo: 0^{3}+0^{2}+1=1.
  • No lado direito todos os termos têm fator x exceto o termo com A, porque o termo de A contém (x-1) mas não tem fator x. Substituindo x=0 só sobra o termo de A:
1 = A(0-1)(0^{2}+0+1)(0^{2}+1)^{3} = A(-1)(1)(1) = -A.
Logo
A = -1.
Avaliação em x=1:
  • Lado esquerdo: 1^{3}+1^{2}+1 = 3.
  • No lado direito todos os termos têm fator (x-1) exceto o termo com B, que contém apenas fator x e não (x-1). Substituindo x=1:
3 = B\cdot 1 \cdot (1^{2}+1+1)\cdot(1^{2}+1)^{3} = B\cdot 1\cdot 3\cdot 2^{3} = 24B.
Logo
B = \frac{3}{24}=\frac{1}{8}.

Passo 4

Para obter I e J (coeficientes ligados a (x^{2}+1)^{3}) é conveniente avaliar a identidade em x=i (uma raiz de x^{2}+1).
Se x=i então x^{2}+1=0. No lado direito todos os termos com fator (x^{2}+1) aparecem multiplicados por pelo menos uma potência positiva desse fator, exceto o último termo (I x+J)\,x(x-1)(x^{2}+x+1), que não tem fator (x^{2}+1). Portanto, ao substituir x=i só sobra esse último termo.
Calculemos P(i)=i^{3}+i^{2}+1:
i^{2}=-1,\quad i^{3}=i^{2}\cdot i=-i,
P(i) = -i + (-1) + 1 = -i.
Agora calculemos os fatores para x=i:
i^{2}+i+1 = -1 + i + 1 = i,
i(i-1)(i^{2}+i+1) = i(i-1)\cdot i = i^{2}(i-1) = -1\cdot(i-1) = 1 - i.
Assim a identidade dá:
-i = (I i + J)\cdot (1 - i).
Multiplicando e separando em parte real e imaginária:
(I i + J)(1-i) = (I+J) + i(I - J).
Comparando com -i = 0 + i(-1) obtemos o sistema
I+J = 0,\qquad I - J = -1.
Somando as duas equações 2I = -1 portanto I = -\tfrac{1}{2}. Daí J = -I = \tfrac{1}{2}.

Passo 5

Para C e D avaliamos a identidade em uma raiz r de x^{2}+x+1=0. Tome r=\omega com \omega^{2}+\omega+1=0 e \omega^{3}=1.
Para x=\omega o fator x^{2}+x+1 se anula, então todos os termos do lado direito que contêm esse fator desaparecem. O único termo que permanece é o que envolve (Cx+D) multiplicado por (x^{2}+1)^{3}. Assim:
P(\omega)=\omega^{3}+\omega^{2}+1 = 1+\omega^{2}+1 = \omega^{2}+2.
Usando \omega^{2}=-\omega-1 obtemos
P(\omega)=1-\omega.
Calculemos também
\omega^{2}+1 = -\omega,\quad (\omega^{2}+1)^{3}=(-\omega)^{3}=-\omega^{3}=-1,
e
\omega(\omega-1) = \omega^{2}-\omega =(-\omega-1)-\omega = -2\omega-1.
Multiplicando os fatores que aparecem, verificamos que
(\,x(\,x-1\,)(x^{2}+1)^{3}\,)_{x=\omega} = \omega(\omega-1)\cdot(-1) = 2\omega+1.
Portanto a identidade reduz-se a
1-\omega = (C\omega + D)\,(2\omega +1).
Dividindo por 2\omega+1 (que não é zero) podemos expressar C\omega + D como
C\omega + D = \frac{1-\omega}{2\omega+1}.
Para simplificar usamos a relação \omega^{2}+\omega+1=0 para obter (fazendo redução algébrica em base 1,\omega) que
\frac{1-\omega}{2\omega+1} = -1 - \omega.
Logo
C\omega + D = -1 - \omega,
o que, comparando coeficientes na base \{1,\omega\}, dá
C = -1,\qquad D = -1.

Passo 6

Agora já temos A,B,C,D,I,J. Faltam E,F,G,H. Para obtê-los vamos reorganizar a identidade de forma prática e dividir polinomialmente para extrair um polinômio que deva ser igual a uma combinação conhecida.
Defina
M(x)=x(x-1)(x^{2}+x+1).
Calculamos rapidamente:
M(x)=x(x-1)(x^{2}+x+1)=(x^{2}-x)(x^{2}+x+1)=x^{4}-x.
Também
(x^{2}+1)^{3}=x^{6}+3x^{4}+3x^{2}+1.
Recordando a identidade polinomial (com os valores já conhecidos A=-1,\;B=\tfrac{1}{8},\;C=-1,\;D=-1), agrupamos os termos assim:
x^{3}+x^{2}+1 = (x^{2}+1)^{3}\,V(x) + M(x)\,W(x),
onde
V(x)=A(x-1)(x^{2}+x+1)+B x(x^{2}+x+1)+(Cx+D)x(x-1)
e
W(x)=(E x+F)(x^{2}+1)^{2}+(G x+H)(x^{2}+1)+(I x+J).
Calculamos V(x) com A=-1,B=\tfrac18,C=-1,D=-1. Observação útil: (x-1)(x^{2}+x+1)=x^{3}-1. Assim
V(x) = -1\cdot(x^{3}-1) + \tfrac{1}{8}(x^{3}+x^{2}+x) + (-x-1)(x^{2}-x).
Desenvolvendo (com cuidado) chega-se a
V(x)=\frac{1}{8}\bigl(-15x^{3}+x^{2}+9x+8\bigr).
Então
(x^{2}+1)^{3}V(x)=\frac{1}{8}\bigl(-15x^{9}+x^{8}-36x^{7}+11x^{6}-18x^{5}+27x^{4}+12x^{3}+25x^{2}+9x+8\bigr).
Agora formamos
L(x):=x^{3}+x^{2}+1 - (x^{2}+1)^{3}V(x).
Fazendo a subtração e reduzindo os coeficientes obtemos (após simplificar frações):
L(x)=\frac{15}{8}x^{9}-\frac{1}{8}x^{8}+\frac{9}{2}x^{7}-\frac{11}{8}x^{6}+\frac{9}{4}x^{5}-\frac{27}{8}x^{4}-\frac{1}{2}x^{3}-\frac{17}{8}x^{2}-\frac{9}{8}x.
Pela identidade L(x)=M(x)\,W(x) e sabendo M(x)=x^{4}-x, dividimos polinomialmente L(x) por M(x) e encontramos o quociente W(x) (a divisão é exata). A divisão polinomial dá:
W(x)=\frac{15}{8}x^{5}-\frac{1}{8}x^{4}+\frac{9}{2}x^{3}+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{17}{8}x+\frac{9}{8}.
Recordando que
W(x)=(E x+F)(x^{4}+2x^{2}+1)+(G x+H)(x^{2}+1)+(I x+J),
e substituindo I=-\tfrac{1}{2},\;J=\tfrac{1}{2}, expandimos e agrupamos em potências de x. Comparando coeficientes em cada potência obtemos um sistema linear simples que fornece
E=\frac{15}{8},\quad F=-\frac{1}{8},\quad G=\frac{3}{4},\quad H=\frac{3}{4}.
Verificação rápida: os coeficientes constantes e de x batem com os valores já conhecidos de I,J, confirmando a consistência.

Passo 7

Reunindo todos os coeficientes obtidos:
A=-1,\quad B=\frac{1}{8},\quad C=-1,\quad D=-1,
E=\frac{15}{8},\quad F=-\frac{1}{8},\quad G=\frac{3}{4},\quad H=\frac{3}{4},
I=-\frac{1}{2},\quad J=\frac{1}{2}.
Logo a decomposição em frações parciais fica:
\begin{aligned} f(x) &= -\frac{1}{x}+\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{x-1}+\frac{-x-1}{x^{2}+x+1} \\\ &\qquad +\frac{\tfrac{15}{8}x-\tfrac{1}{8}}{x^{2}+1}+\frac{\tfrac{3}{4}x+\tfrac{3}{4}}{(x^{2}+1)^{2}}+\frac{-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{2}}{(x^{2}+1)^{3}}. \end{aligned}

Passo 8

Agora integramos f(x) termo a termo. Vou apresentar as integrais padrão usadas e aplicar:
  1. \displaystyle \int \frac{dx}{x}=\ln|x|.
  2. \displaystyle \int \frac{dx}{x-1}=\ln|x-1|.
  3. Para \displaystyle \int\frac{-x-1}{x^{2}+x+1}\,dx escrevemos
-x-1 = -\frac{1}{2}(2x+1) - \frac{1}{2},
logo
\int \frac{-x-1}{x^{2}+x+1}\,dx = -\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+x+1\bigr) - \frac{1}{2}\int\frac{dx}{x^{2}+x+1}.
Completa-se o quadrado x^{2}+x+1=\bigl(x+\tfrac{1}{2}\bigr)^{2}+\tfrac{3}{4} e usa-se a primitiva arctan:
\int\frac{dx}{x^{2}+x+1} = \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan\!\Bigl(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\Bigr).
Portanto
\int \frac{-x-1}{x^{2}+x+1}\,dx = -\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+x+1\bigr) - \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\Bigl(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\Bigr).
  1. Para \displaystyle \int \frac{\tfrac{15}{8}x-\tfrac{1}{8}}{x^{2}+1}\,dx separamos:
\frac{15}{8}\int\frac{x}{x^{2}+1}\,dx - \frac{1}{8}\int\frac{dx}{x^{2}+1} = \frac{15}{16}\ln(x^{2}+1) - \frac{1}{8}\arctan x.
  1. Para \displaystyle \int \frac{\tfrac{3}{4}x+\tfrac{3}{4}}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx separamos:
\frac{3}{4}\int\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx + \frac{3}{4}\int\frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}.
  • Com a substituição u=x^{2}+1 o primeiro integral dá -\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{1}{x^{2}+1}.
  • Sabemos também a primitiva (fórmula padrão)
\int\frac{dx}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{x}{2(x^{2}+1)}+\frac{1}{2}\arctan x.
Juntando os termos obtemos
\int \frac{\tfrac{3}{4}x+\tfrac{3}{4}}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx = \frac{3}{8}\arctan x + \frac{3}{8}\cdot\frac{x-1}{x^{2}+1}.
  1. Para \displaystyle \int \frac{-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{2}}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx separamos:
-\frac{1}{2}\int\frac{x}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx + \frac{1}{2}\int\frac{dx}{(x^{2}+1)^{3}}.
  • Pelo substituto u=x^{2}+1 temos \displaystyle \int\frac{x}{(x^{2}+1)^{3}}dx = -\frac{1}{4(x^{2}+1)^{2}}.
  • E (usando x=\tan\theta ou fórmulas de redução) a primitiva
\int\frac{dx}{(x^{2}+1)^{3}} = \frac{3}{8}\arctan x + \frac{x(5+3x^{2})}{8(1+x^{2})^{2}}.
Portanto, reunindo,
\int \frac{-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{2}}{(x^{2}+1)^{3}}\,dx = \frac{1}{8(1+x^{2})^{2}} + \frac{3}{16}\arctan x + \frac{x(5+3x^{2})}{16(1+x^{2})^{2}}.
(esse termo racional pode ser combinado em uma única fração sobre (1+x^{2})^{2} se desejar).

Passo 9

Somando todas as contribuições (I exponho a antiderivada final agrupando termos de logaritmo, arctan e as frações racionais), obtemos uma primitiva F(x) de f(x):
\begin{aligned} F(x) &= -\ln|x|+\frac{1}{8}\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+x+1\bigr)+\frac{15}{16}\ln(x^{2}+1)\\\ &\qquad -\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\Bigl(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\Bigr) +\Bigl(-\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{16}\Bigr)\arctan x\\\ &\qquad +\frac{3}{8}\cdot\frac{x-1}{x^{2}+1} + \frac{1}{8(1+x^{2})^{2}} + \frac{x(5+3x^{2})}{16(1+x^{2})^{2}} + C, \end{aligned}
onde C é constante de integração. Note que o coeficiente combinado de \arctan x simplifica:
-\frac{1}{8}+\frac{3}{8}+\frac{3}{16}=\frac{7}{16}.
Podemos, se quisermos, juntar os termos racionais sobre (1+x^{2})^{2} em uma única fração; deixei-os separados para clareza das etapas. Essa expressão é uma antiderivada correta (qualquer forma equivalente, com termos racionais combinados de maneira diferente, também é correta).

Resposta

\frac{x^{3}+x^{2}+1}{x(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)\left(x^{2}+1\right)^{3}}= -\frac{1}{x}+\frac{1}{8}\cdot\frac{1}{x-1}+\frac{-x-1}{x^{2}+x+1} +\frac{\tfrac{15}{8}x-\tfrac{1}{8}}{x^{2}+1}+\frac{\tfrac{3}{4}x+\tfrac{3}{4}}{(x^{2}+1)^{2}}+\frac{-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{2}}{(x^{2}+1)^{3}}
\begin{aligned} \int f(x)\,dx &= -\ln|x|+\frac{1}{8}\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+x+1\bigr)+\frac{15}{16}\ln(x^{2}+1)\\\ &\quad -\frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\!\Bigl(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\Bigr)+\frac{7}{16}\arctan x\\\ &\quad +\frac{3}{8}\cdot\frac{x-1}{x^{2}+1}+\frac{1}{8(1+x^{2})^{2}}+\frac{x(5+3x^{2})}{16(1+x^{2})^{2}}+C, \end{aligned}

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