Exemplo 8
(a) Encontre a forma da decomposição em frações parciais da função
(b) Como exercício, encontre os valores dos coeficientes e calcule
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (a) encontrar a forma da decomposição em frações parciais de
e (b) encontrar os coeficientes dessa decomposição e calcular
.
Informações dadas / relevantes:
Observações úteis que vamos usar depois (resultantes da factorização padrão):
-
é um quadrático irredutível (raízes complexas com ), -
tem raízes e aparece com multiplicidade 3, -
e são fatores simples (linéares).
A partir daqui vou montar a forma geral da decomposição e resolver passo a passo para obter todos os coeficientes e, em seguida, integrar termo a termo.
Passo 2
Forma geral da decomposição (pelo tipo de fatores do denominador):
- Para os fatores lineares simples
e usamos constantes:
- Para o quadrático irreduzível
usamos numerador linear:
- Para
(quadrático repetido de ordem 3) usamos somatório de termos com numeradores lineares para cada potência:
Portanto a forma geral é
Nosso objetivo é determinar
reais.
Passo 3
Multiplicamos a igualdade anterior pelo denominador completo para obter uma identidade polinomial:
Agora eu vou avaliar essa identidade em pontos estratégicos para obter alguns coeficientes direto.
Avaliação em
:
- Lado esquerdo:
. - No lado direito todos os termos têm fator
exceto o termo com , porque o termo de contém mas não tem fator . Substituindo só sobra o termo de :
Logo
Avaliação em
:
- Lado esquerdo:
. - No lado direito todos os termos têm fator
exceto o termo com , que contém apenas fator e não . Substituindo :
Logo
Passo 4
Para obter
e
(coeficientes ligados a
) é conveniente avaliar a identidade em
(uma raiz de
).
Se
então
. No lado direito todos os termos com fator
aparecem multiplicados por pelo menos uma potência positiva desse fator, exceto o último termo
, que não tem fator
. Portanto, ao substituir
só sobra esse último termo.
Calculemos
:
Agora calculemos os fatores para
:
Assim a identidade dá:
Multiplicando e separando em parte real e imaginária:
Comparando com
obtemos o sistema
Somando as duas equações
portanto
. Daí
.
Passo 5
Para
e
avaliamos a identidade em uma raiz
de
. Tome
com
e
.
Para
o fator
se anula, então todos os termos do lado direito que contêm esse fator desaparecem. O único termo que permanece é o que envolve
multiplicado por
. Assim:
Usando
obtemos
Calculemos também
e
Multiplicando os fatores que aparecem, verificamos que
Portanto a identidade reduz-se a
Dividindo por
(que não é zero) podemos expressar
como
Para simplificar usamos a relação
para obter (fazendo redução algébrica em base
) que
Logo
o que, comparando coeficientes na base
, dá
Passo 6
Agora já temos
. Faltam
. Para obtê-los vamos reorganizar a identidade de forma prática e dividir polinomialmente para extrair um polinômio que deva ser igual a uma combinação conhecida.
Defina
Calculamos rapidamente:
Também
Recordando a identidade polinomial (com os valores já conhecidos
), agrupamos os termos assim:
onde
e
Calculamos
com
. Observação útil:
. Assim
Desenvolvendo (com cuidado) chega-se a
Então
Agora formamos
Fazendo a subtração e reduzindo os coeficientes obtemos (após simplificar frações):
Pela identidade
e sabendo
, dividimos polinomialmente
por
e encontramos o quociente
(a divisão é exata). A divisão polinomial dá:
Recordando que
e substituindo
, expandimos e agrupamos em potências de
. Comparando coeficientes em cada potência obtemos um sistema linear simples que fornece
Verificação rápida: os coeficientes constantes e de
batem com os valores já conhecidos de
, confirmando a consistência.
Passo 7
Reunindo todos os coeficientes obtidos:
Logo a decomposição em frações parciais fica:
Passo 8
Agora integramos
termo a termo. Vou apresentar as integrais padrão usadas e aplicar:
-
-
-
Para
escrevemos
logo
Completa-se o quadrado
e usa-se a primitiva arctan:
Portanto
- Para
separamos:
- Para
separamos:
- Com a substituição
o primeiro integral dá . - Sabemos também a primitiva (fórmula padrão)
Juntando os termos obtemos
- Para
separamos:
- Pelo substituto
temos . - E (usando
ou fórmulas de redução) a primitiva
Portanto, reunindo,
(esse termo racional pode ser combinado em uma única fração sobre
se desejar).
Passo 9
Somando todas as contribuições (I exponho a antiderivada final agrupando termos de logaritmo, arctan e as frações racionais), obtemos uma primitiva
de
:
onde
é constante de integração. Note que o coeficiente combinado de
simplifica:
Podemos, se quisermos, juntar os termos racionais sobre
em uma única fração; deixei-os separados para clareza das etapas. Essa expressão é uma antiderivada correta (qualquer forma equivalente, com termos racionais combinados de maneira diferente, também é correta).