Calcule a integral definida:
\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{\left(6-x^{2}\right)^{3}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{\bigl(6 - x^{2}\bigr)^{3}}}\,dx
Isso é equivalente a
\int_{1}^{2} (6 - x^{2})^{-\tfrac{3}{2}}\,dx.
O conteúdo é técnica de integração por substituição trigonométrica ou uso de fórmula para \displaystyle \int (a^{2}-x^{2})^{-3/2}dx.

Passo 2

Fazemos a substituição trigonométrica
x = \sqrt{6}\,\sin\theta,
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dx = \sqrt{6}\,\cos\theta\,d\theta \quad\text{e}\quad 6 - x^{2} = 6\cos^{2}\theta.
Substituindo na integral,
\int (6 - x^{2})^{-\tfrac{3}{2}}\,dx = \int \frac{\sqrt{6}\,\cos\theta\,d\theta}{\bigl(6\cos^{2}\theta\bigr)^{3/2}} = \int \frac{\sqrt{6}\,\cos\theta}{6^{3/2}\cos^{3}\theta}\,d\theta = \frac{1}{6} \int \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.

Passo 3

Integramos em \theta:
\frac{1}{6}\int \operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{6}\tan\theta + C.
Voltando a x, como \tan\theta = \dfrac{x}{\sqrt{6 - x^{2}}}, obtemos a primitiva
F(x) = \frac{x}{6\sqrt{6 - x^{2}}} + C.

Passo 4

Agora avaliamos entre 1 e 2:
F(2) = \frac{2}{6\sqrt{6 - 4}} = \frac{2}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6},
F(1) = \frac{1}{6\sqrt{6 - 1}} = \frac{1}{6\sqrt{5}}.
Logo a integral definida é
F(2) - F(1) = \frac{\sqrt{2}}{6} \;-\; \frac{1}{6\sqrt{5}}.

Passo 5

Para simplificar, note que \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6} = \frac{5\sqrt{2}}{30}
e \displaystyle \frac{1}{6\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{30}.
Assim
\frac{\sqrt{2}}{6} - \frac{1}{6\sqrt{5}} = \frac{5\sqrt{2} - \sqrt{5}}{30}.

Resposta

\frac{5\sqrt{2} - \sqrt{5}}{30}

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