(1) Calcule:
\int x^{3} \cos \left(x^{2}\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int x^{3}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar uma substituição adequada para simplificar o integrando e depois, se necessário, aplicar integração por partes.

Passo 2

Observe que podemos escrever x^{3}\,dx = x^{2}\cdot x\,dx. Fazendo a substituição
u = x^{2}, \quad du = 2x\,dx \;\Longrightarrow\; x\,dx = \frac{du}{2},
temos
\int x^{3}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int x^{2}\cos(u)\,\bigl(x\,dx\bigr) = \int u\cos(u)\,\frac{du}{2} = \frac12\int u\cos(u)\,du.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \int u\cos(u)\,du\), usamos integração por partes. Escolhemos \[\begin{cases} U = u, & dV = \cos(u)\,du,\\\ dU = du, & V = \displaystyle \int \cos(u)\,du = \sin(u). \end{cases}
A fórmula (\int U,dV = UV - \int V,dU] dá
\int u\cos(u)\,du = u\sin(u) - \int \sin(u)\,du = u\sin(u) + \cos(u) + C_{1}.

Passo 4

Voltando à nossa integral original, multiplicamos por \tfrac12 e substituímos u = x^{2}:
\frac12\int u\cos(u)\,du = \frac12\bigl(u\sin(u) + \cos(u)\bigr) + C = \frac12\,x^{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr) + \frac12\cos\bigl(x^{2}\bigr) + C.

Resposta

\boxed{ \int x^{3}\cos\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \frac12\,x^{2}\sin\bigl(x^{2}\bigr) + \frac12\cos\bigl(x^{2}\bigr) + C. }

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