Encontre a expressão campo elétrico \mathbf{E} devido a uma peça cilíndrica metálica, homogeneamente carregada e sob resultante elétrica externa nula a essa, para pontos externos próximos a superfície lateral da peça. (b) Assumindo que essa peça tenha um diâmetro de base de 50 cm , um comprimento de 2 m e carga total de 120 mC , determine a variação do potencial elétrico ( \Delta \mathrm{V} ) de um ponto a 230 mm do eixo central da peça, na direção radial, para um ponto a 260 mm desse mesmo eixo e na mesma direção radial. São dadas as permissividades elétricas da peça e do meio onde essa se encontra respectivamente iguais a 30 \times 10^{-10} \mathrm{C}^{2} / \mathrm{Nm}^{2} e 8 \times 10^{-12} \mathrm{C}^{2} / \mathrm{Nm}^{2}. ( 1,5 pontos).
Obs: Todas as grandezas físicas em negrito são grandezas vetoriais.
Obs2: Todas as grandezas vetoriais deverão ser expressas de alguma forma como vetores.
Obs3: Apresentem todos os cálculos na resolução
Obs4: Respostas finais com precisão mínima de duas casas decimais. Cuidado com as aproximações.

Passo 1

O enunciado quer primeiro a expressão do campo elétrico \mathbf{E} em pontos externos e próximos à superfície lateral de um cilindro metálico carregado, em regime de equilíbrio (sem campo elétrico externo agindo). Em seguida, pede a variação de potencial \Delta V entre dois pontos a distâncias radiais r_{a}=230\,\mathrm{mm} e r_{b}=260\,\mathrm{mm} do eixo, sabendo-se que o diâmetro da base é 50\,\mathrm{cm}, o comprimento L=2\,\mathrm{m} e a carga total Q=120\,\mathrm{mC}. Vamos usar as propriedades de condutores em equilíbrio (toda carga reside na superfície) e a Lei de Gauss para um cilindro longo, além da relação entre campo e potencial.

Passo 2

Para um cilindro metálico de comprimento L e carga total Q, definimos a densidade linear
\lambda = \frac{Q}{L}.
Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r (com r maior que o raio do cilindro) e comprimento L. Como \mathbf{E} é radial e uniforme sobre essa superfície, a Lei de Gauss dá
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\,(2\pi rL) \quad\text{e}\quad Q_{\rm int} = \lambda\,L,
de modo que
E(r)\,(2\pi rL) = \frac{\lambda\,L}{\varepsilon} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\,\varepsilon\,r}.
Como estamos no meio externo, usamos \varepsilon = \varepsilon_{\rm meio} = 8\times10^{-12}\,\mathrm{C^2/Nm^2}. Em forma vetorial,
\boxed{\mathbf{E}(r) = \frac{\lambda}{2\pi\,\varepsilon\,r}\,\hat{\mathbf{r}}\,.}

Passo 3

O potencial elétrico entre dois raios r_{a} e r_{b} é
\Delta V = V(r_{b}) - V(r_{a}) = -\int_{r_{a}}^{r_{b}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{\ell} = -\int_{r_{a}}^{r_{b}} \frac{\lambda}{2\pi\,\varepsilon\,r}\,dr = -\frac{\lambda}{2\pi\,\varepsilon}\,\ln\!\biggl(\frac{r_{b}}{r_{a}}\biggr).

Passo 4

Primeiro, convertemos as grandezas para o SI e calculamos \lambda:
Q = 120\,\mathrm{mC} = 120\times10^{-3}\,\mathrm{C}, \quad L = 2,0\,\mathrm{m} \;\Longrightarrow\; \lambda = \frac{120\times10^{-3}}{2} = 0,06\,\mathrm{C/m}.
As distâncias radiais são
r_{a} = 230\,\mathrm{mm} = 0,230\,\mathrm{m}, \quad r_{b} = 260\,\mathrm{mm} = 0,260\,\mathrm{m}.
O coeficiente é
\frac{\lambda}{2\pi\,\varepsilon} = \frac{0,06}{2\pi\,(8\times10^{-12})} \approx 1{,}19366\times10^{9}\,\mathrm{V}.
O logaritmo é
\ln\!\bigl(\tfrac{r_{b}}{r_{a}}\bigr) = \ln\!\bigl(\tfrac{0,260}{0,230}\bigr) \approx 0{,}12205.
Portanto,
\Delta V = -\bigl(1{,}19366\times10^{9}\bigr)\,(0{,}12205) \approx -1{,}46\times10^{8}\,\mathrm{V}.

Resposta

\mathbf{E}(r) = \frac{\lambda}{2\pi\,\varepsilon\,r}\,\hat{\mathbf{r}}, \quad \Delta V = V(0{,}260\,\mathrm{m}) - V(0{,}230\,\mathrm{m}) \approx -1{,}46\times10^{8}\,\mathrm{V}.

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