Calcule:
\int \frac{1}{y^{2}+6 y+8} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{y^{2} + 6y + 8}\,dy.
O conteúdo principal é decomposição em frações parciais, pois o denominador é um polinômio de segundo grau que pode ser fatorado.

Passo 2

Fatoramos o denominador y^{2}+6y+8. Buscamos números que somem 6 e cujo produto seja 8. Esses números são 2 e 4. Logo,
y^{2} + 6y + 8 = (y+2)\,(y+4).
Escrevemos então
\frac{1}{y^{2} + 6y + 8} = \frac{1}{(y+2)(y+4)} = \frac{A}{y+2} + \frac{B}{y+4}.

Passo 3

Para determinar A e B, usamos
1 = A\,(y+4) + B\,(y+2).
Escolhendo valores convenientes de y:
Se y=-2,
1 = A\,(-2+4) = 2A \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac12.
Se y=-4,
1 = B\,(-4+2) = -2B \quad\Longrightarrow\quad B = -\tfrac12.

Passo 4

Substituindo na integral, temos
\int \frac{1}{y^{2}+6y+8}\,dy = \int \Bigl(\frac{1/2}{y+2} - \frac{1/2}{y+4}\Bigr)\,dy = \tfrac12\int \frac{dy}{y+2} \;-\; \tfrac12\int \frac{dy}{y+4}.
Cada uma é uma integral de \frac{1}{u}, cujo resultado é logaritmo natural:
\tfrac12\int \frac{dy}{y+2} = \tfrac12 \ln\bigl|y+2\bigr|,\qquad \tfrac12\int \frac{dy}{y+4} = \tfrac12 \ln\bigl|y+4\bigr|.

Resposta

\int \frac{1}{y^{2}+6y+8}\,dy = \tfrac12\,\ln\bigl|y+2\bigr| - \tfrac12\,\ln\bigl|y+4\bigr| + C = \tfrac12\ln\!\Bigl|\frac{y+2}{y+4}\Bigr| + C.

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