Calcule:
\int x^{3} \operatorname{tg}\left(x^{4}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral indefinida
\int x^{3}\,\tan\bigl(x^{4}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é a técnica de substituição (u-substitution), pois dentro da tangente há x^{4} e fora aparece x^{3}dx, que é proporcional à derivada de x^{4}.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = x^{4},
portanto
du = 4\,x^{3}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{3}\,dx = \frac{1}{4}\,du.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int x^{3}\tan(x^{4})\,dx obtemos
\int x^{3}\tan\bigl(x^{4}\bigr)\,dx = \frac{1}{4}\int \tan(u)\,du.
Agora usamos o fato de que
\int \tan(u)\,du = \int \frac{\sin(u)}{\cos(u)}\,du = -\ln\bigl|\cos(u)\bigr| + C.

Passo 4

Voltando à variável original x, com u = x^{4}, concluímos
\int x^{3}\tan\bigl(x^{4}\bigr)\,dx = -\frac{1}{4}\,\ln\bigl|\cos(x^{4})\bigr| + C.

Resposta

-\frac{1}{4}\,\ln\bigl|\cos(x^{4})\bigr| + C.

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