Determine a interseção da reta
\begin{aligned} & x=1+t \\\ & y=-2 \\\ & z=4+2 t \end{aligned}
com o plano
x-2 y+3 z=0

Passo 1

O enunciado pede o ponto de interseção entre a reta
\begin{cases} x = 1 + t,\\\ y = -2,\\\ z = 4 + 2t \end{cases}
e o plano
x - 2y + 3z = 0.
Este é um problema de geometria analítica: basta substituir as coordenadas paramétricas da reta na equação do plano e resolver para t.

Passo 2

Substituímos x = 1 + t, y = -2 e z = 4 + 2t na equação do plano:
(1 + t) \;-\; 2(-2) \;+\; 3(4 + 2t) \;=\; 0.
Agora simplificamos:
1 + t + 4 + 12 + 6t = 0
7t + 17 = 0
t = -\frac{17}{7}.

Passo 3

Com t = -\tfrac{17}{7}, calculamos as coordenadas do ponto:
x = 1 + \Bigl(-\tfrac{17}{7}\Bigr) = -\tfrac{10}{7},\quad y = -2,\quad z = 4 + 2\Bigl(-\tfrac{17}{7}\Bigr) = -\tfrac{6}{7}.

Resposta

O ponto de interseção é
\Bigl(-\tfrac{10}{7},\,-2,\,-\tfrac{6}{7}\Bigr).

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