Calcule.
(\int_{0}^{1} \frac{y}{e^{2 y}} d y)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1}\frac{y}{e^{2y}}\,dy.
O conteúdo principal é integração por partes, já que temos um produto entre y e e^{-2y}.

Passo 2

Definimos
I = \int_{0}^{1}y\,e^{-2y}\,dy,
e escolhemos na fórmula de integração por partes
u = y,\quad dv = e^{-2y}\,dy.
Logo
du = dy,\quad v = \int e^{-2y}\,dy = -\tfrac12e^{-2y}.

Passo 3

Pela fórmula
I = \bigl.uv\bigr|_{0}^{1} - \int_{0}^{1}v\,du,
temos os dois termos:
\bigl.uv\bigr|_{0}^{1} = \Bigl(-\tfrac12\,y\,e^{-2y}\Bigr)\Big|_{0}^{1} = -\tfrac12e^{-2},
\int_{0}^{1}v\,du = \int_{0}^{1}\Bigl(-\tfrac12e^{-2y}\Bigr)\,dy = -\tfrac12\int_{0}^{1}e^{-2y}\,dy = -\tfrac12\Bigl(-\tfrac12e^{-2y}\Bigr)\Big|_{0}^{1} = \frac{e^{-2}-1}{4}.

Passo 4

Substituindo em I:
I = -\tfrac12e^{-2} \;-\;\frac{e^{-2}-1}{4} = \frac{1-3e^{-2}}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{1 - 3e^{-2}}{4}

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