Calcule.
(\int_{0}^{\pi} x \cos x d x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi} x\cos x \,dx,
usando o conteúdo de integração por partes.

Passo 2

A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 3

Escolhemos
u = x,\quad dv = \cos x\,dx,
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du = dx,\quad v = \sin x.
Aplicando,
\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x + C.

Passo 4

Agora avaliamos de 0 a \pi:
\int_{0}^{\pi} x\cos x\,dx = \bigl[x\sin x + \cos x\bigr]_{0}^{\pi} = \bigl(\pi\cdot0 + \cos\pi\bigr) - \bigl(0\cdot0 + \cos0\bigr) = (-1) - (1) = -2.

Resposta

-2

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