Calcule.
(\int_{0}^{\pi / 2} e^{x} \cos x d x)

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int_{0}^{\pi/2} e^{x}\cos x\,dx.
O conteúdo principal é a técnica de integração por partes, que precisaremos aplicar duas vezes para obter uma relação entre a integral buscada e ela mesma.

Passo 2

Defina
I = \int e^{x}\cos x\,dx.
Aplicando integração por partes com u = e^{x} e dv = \cos x\,dx, temos du = e^{x}dx e v = \sin x. Logo,
I = e^{x}\sin x - \int e^{x}\sin x\,dx.
Denote
J = \int e^{x}\sin x\,dx.

Passo 3

Para achar J, use integração por partes com u = e^{x} e dv = \sin x\,dx. Então du = e^{x}dx e v = -\cos x, o que dá
J = -e^{x}\cos x + \int e^{x}\cos x\,dx = -e^{x}\cos x + I.

Passo 4

Voltando a I = e^{x}\sin x - J e substituindo J, obtemos
I = e^{x}\sin x - \bigl(-e^{x}\cos x + I\bigr) = e^{x}\sin x + e^{x}\cos x - I.
Isso implica
2I = e^{x}\bigl(\sin x + \cos x\bigr) \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{e^{x}}{2}\bigl(\sin x + \cos x\bigr) + C.

Passo 5

Agora aplique os limites de 0 a \tfrac{\pi}{2}:
\int_{0}^{\pi/2}e^{x}\cos x\,dx = \left[\frac{e^{x}}{2}\bigl(\sin x + \cos x\bigr)\right]_{0}^{\pi/2} = \frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{2}(1 + 0) - \frac{e^{0}}{2}(0 + 1).
Portanto
\int_{0}^{\pi/2}e^{x}\cos x\,dx = \frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{2} - \frac{1}{2} = \frac{e^{\frac{\pi}{2}} - 1}{2}.

Resposta

\frac{e^{\frac{\pi}{2}} - 1}{2}

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