Calcule: \int_{0}^{3} \int_{0}^{4} \int_{\frac{y}{2}}^{\frac{y+1}{2}}\left(\frac{2 x-1}{2}+\frac{2}{3}\right) d x d y d z.
Aplicando a transformação: u=\frac{2 x-y}{2}, v=\frac{y}{2} e w=\frac{z}{3} e integrando sobre uma região apropriada no espaço uvw.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\int_{z=0}^{3}\int_{y=0}^{4}\int_{x=\frac{y}{2}}^{\frac{y+1}{2}}\Bigl(\frac{2x-1}{2}+\frac{2}{3}\Bigr)\,dx\,dy\,dz
usando a mudança de variáveis
u=\frac{2x-y}{2},\quad v=\frac{y}{2},\quad w=\frac{z}{3}.
O conteúdo é transformação em integrais múltiplas e cálculo do jacobiano para simplificar a região de integração.

Passo 2

Vamos descrever a região original em termos de u,v,w.
Como y varia de 0 a 4, temos
v=\frac{y}{2}\;\Longrightarrow\;v\in[0,2].
Para as arestas em x, quando x=\tfrac{y}{2}
u=\frac{2\,(y/2)-y}{2}=0,
e quando x=\tfrac{y+1}{2}
u=\frac{2\,(y+1)/2 - y}{2}=\frac{1}{2},
logo u\in[0,\tfrac12]. E como z\in[0,3],
w=\frac{z}{3}\;\Longrightarrow\;w\in[0,1].
A região em (u,v,w) é o paralelepípedo
0\le u\le\tfrac12,\quad0\le v\le2,\quad0\le w\le1.

Passo 3

Encontramos o jacobiano da transformação. Das definições
y=2v,\quad x=u+v,\quad z=3w
temos a matriz
\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\\\ 0 & 2 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix},
cujo determinante é
J = 1\cdot2\cdot3 =6.
Portanto
dx\,dy\,dz =6\,du\,dv\,dw.

Passo 4

Expressamos o integrando em u,v. Originalmente
\frac{2x-1}{2}+\frac{2}{3} =x-\tfrac12+\tfrac23 =x+\tfrac{1}{6}.
Como x=u+v, o integrando vira
u+v+\tfrac{1}{6}.
Multiplicando pelo jacobiano, a integral total é
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{\tfrac12} \bigl(u+v+\tfrac{1}{6}\bigr)\,6\,du\,dv\,dw.

Passo 5

Compute inner integrals:
\int_{0}^{\tfrac12}(u+v+\tfrac{1}{6})\,du =\Bigl[\tfrac{u^{2}}{2}+v\,u+\tfrac{u}{6}\Bigr]_{0}^{\tfrac12} =\tfrac{1}{8}+\tfrac{v}{2}+\tfrac{1}{12} =\tfrac{v}{2}+\tfrac{5}{24}.
Em seguida
\int_{0}^{2}\Bigl(\tfrac{v}{2}+\tfrac{5}{24}\Bigr)dv =\Bigl[\tfrac{v^{2}}{4}+\tfrac{5v}{24}\Bigr]_{0}^{2} =1+\tfrac{5}{12} =\tfrac{17}{12}.
Por fim, como não há w no integrando,
\int_{0}^{1}dw=1,
e lembrando do fator 6,
6\cdot\tfrac{17}{12}=\tfrac{17}{2}.

Resposta

\frac{17}{2}.

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