Calcule:
.
Aplicando a transformação:
e
e integrando sobre uma região apropriada no espaço uvw.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
usando a mudança de variáveis
O conteúdo é transformação em integrais múltiplas e cálculo do jacobiano para simplificar a região de integração.
Passo 2
Vamos descrever a região original em termos de
.
Como varia de
a
, temos
Como
Para as arestas em
, quando
e quando
logo
. E como
,
A região em
é o paralelepípedo
Passo 3
Encontramos o jacobiano da transformação. Das definições
temos a matriz
cujo determinante é
Portanto
Passo 4
Expressamos o integrando em
. Originalmente
Como
, o integrando vira
Multiplicando pelo jacobiano, a integral total é
Passo 5
Compute inner integrals:
Em seguida
Por fim, como não há
no integrando,
e lembrando do fator
,