ntos) Calcule a integral de superfície (usando a definição) de f(x, y, z)=2 x+y+z através de S, onde S é a superfície do plano x+y+z=1 no primeiro octante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S}f(x,y,z)\,dS
onde f(x,y,z)=2x+y+z e S é o triângulo dado pelo plano x+y+z=1 no primeiro octante.
O conteúdo é integral de superfície de função escalar; vamos parametrizar S e usar a definição
\iint_{S}f\,dS=\iint_{D}f\bigl(\mathbf r(u,v)\bigr)\,\bigl\|\mathbf r_{u}\times\mathbf r_{v}\bigr\|\,du\,dv.

Passo 2

Parametrizamos S usando as coordenadas (x,y) no domínio triangular
D=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1\}
como
\mathbf r(x,y) = \bigl(x,\;y,\;1-x-y\bigr).

Passo 3

Calculamos os vetores parciais
\mathbf r_{x}=(1,0,-1),\qquad \mathbf r_{y}=(0,1,-1),
o produto vetorial e seu módulo:
\mathbf r_{x}\times\mathbf r_{y}=(1,1,1), \qquad \bigl\|\mathbf r_{x}\times\mathbf r_{y}\bigr\|=\sqrt{1^{2}+1^{2}+1^{2}}=\sqrt{3}.
Logo
dS=\sqrt{3}\,dx\,dy.

Passo 4

Escrevemos f na parametrização:
f\bigl(\mathbf r(x,y)\bigr)=2x+y+(1-x-y)=x+1.

Passo 5

A integral de superfície fica
\iint_{S}f\,dS =\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}(x+1)\,\sqrt{3}\;dy\,dx =\sqrt{3}\int_{0}^{1}\bigl[(x+1)(1-x)\bigr]\,dx.
Expandindo (x+1)(1-x)=1-x^{2}, temos
\iint_{S}f\,dS =\sqrt{3}\int_{0}^{1}(1-x^{2})\,dx.

Passo 6

Calculamos a integral em x:
\int_{0}^{1}(1-x^{2})\,dx =\Bigl[x-\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} =1-\tfrac{1}{3} =\tfrac{2}{3}.
Multiplicando por \sqrt{3} resulta
\iint_{S}f\,dS =\sqrt{3}\,\tfrac{2}{3} =\tfrac{2\sqrt{3}}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{3}

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