Um sólido é descrito em coordenadas esféricas por r \leq \sin \varphi. Calcule o seu volume.

Passo 1

O enunciado descreve o sólido em coordenadas esféricas pela desigualdade
r \le \sin\varphi.
Queremos calcular o volume desse sólido usando a expressão do elemento de volume em esféricas, que é
dV = r^{2}\sin\varphi \,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 2

Definimos os limites de integração: \theta varia de 0 a 2\pi, \varphi varia de 0 a \pi (pois \sin\varphi\ge0 em todo esse intervalo) e, para cada \varphi, r vai de 0 até \sin\varphi. Logo
V = \int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{\varphi=0}^{\pi}\!\int_{r=0}^{\sin\varphi} r^{2}\sin\varphi \,dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Primeiro integramos em r:
\int_{0}^{\sin\varphi} r^{2}\,dr = \left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{\sin\varphi} = \frac{1}{3}\,\sin^{3}\varphi.
Substituindo em V, fatoramos o que não depende de \theta:
V = \int_{0}^{2\pi}d\theta\;\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\;\frac{\sin^{3}\varphi}{3}\,d\varphi = \frac{2\pi}{3}\,\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\varphi\,d\varphi.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int_{0}^{\pi}\sin^{4}\varphi\,d\varphi, usamos a identidade de redução
\sin^{4}\varphi = \frac{3 - 4\cos(2\varphi) + \cos(4\varphi)}{8}.

Passo 5

Integramos termo a termo de 0 a \pi:
\int_{0}^{\pi}\sin^{4}\varphi\,d\varphi = \frac{1}{8}\Bigl[3\varphi -2\sin(2\varphi)+\tfrac{1}{4}\sin(4\varphi)\Bigr]_{0}^{\pi} = \frac{3\pi}{8},
pois \sin(2\varphi) e \sin(4\varphi) valem zero nos extremos.

Passo 6

Substituindo esse resultado em V:
V = \frac{2\pi}{3}\,\cdot\frac{3\pi}{8} = \frac{2\pi\cdot3\pi}{3\cdot8} = \frac{\pi^{2}}{4}.

Resposta

O volume do sólido é V = \tfrac{\pi^{2}}{4}.

Exercícios relacionados