Um sólido é descrito em coordenadas esféricas por
. Calcule o seu volume.
Passo 1
O enunciado descreve o sólido em coordenadas esféricas pela desigualdade
Queremos calcular o volume desse sólido usando a expressão do elemento de volume em esféricas, que é
Passo 2
Definimos os limites de integração:
varia de
a
,
varia de
a
(pois
em todo esse intervalo) e, para cada
,
vai de
até
. Logo
Passo 3
Primeiro integramos em
:
Substituindo em
, fatoramos o que não depende de
:
Passo 4
Para calcular
, usamos a identidade de redução
Passo 5
Integramos termo a termo de
a
:
pois
e
valem zero nos extremos.
Passo 6
Substituindo esse resultado em
:
Resposta
O volume do sólido é
.