a parte da curva y=x^{3} que vai do ponto A(0,0) a B(1,1). Calcule a integral de
\int_{C} 2 y d r

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha escalar
\int_{C}2y\,dr
ao longo da curva C dada por y=x^3, partindo de A(0,0) até B(1,1).
Aqui o diferencial dr representa o elemento de comprimento de arco, de modo que usaremos a parametrização da curva e a fórmula do comprimento de arco para resolver.

Passo 2

Parametrizamos a curva por
\begin{cases} x(t)=t,\\\ y(t)=t^3, \end{cases} \quad t\in[0,1].
Então
\frac{dx}{dt}=1, \qquad \frac{dy}{dt}=3t^2,
e o elemento de arco é
dr=\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^2}\,dt =\sqrt{1+(3t^2)^2}\,dt =\sqrt{1+9t^4}\,dt.

Passo 3

Escrevendo a integral em t, temos
\int_{C}2y\,dr =\int_{0}^{1}2\bigl(y(t)\bigr)\,\sqrt{1+9t^4}\,dt =\int_{0}^{1}2\,t^3\,\sqrt{1+9t^4}\,dt.

Passo 4

Para calcular
I=\int_{0}^{1}2t^3\sqrt{1+9t^4}\,dt
fazemos a substituição
u=t^2 \quad\Longrightarrow\quad du=2t\,dt \quad\Longrightarrow\quad t^3\,dt = t^2\,(t\,dt)=u\,\frac{du}{2}.
Logo
I =\int_{0}^{1}2\,t^3\sqrt{1+9t^4}\,dt =\int_{u=0}^{1}2\,\Bigl(u\,\frac{du}{2}\Bigr)\,\sqrt{1+9u^2} =\int_{0}^{1}u\sqrt{1+9u^2}\,du.

Passo 5

Agora use a substituição
w=1+9u^2 \quad\Longrightarrow\quad dw=18u\,du \quad\Longrightarrow\quad u\,du=\frac{dw}{18}.
Então
\int_{0}^{1}u\sqrt{1+9u^2}\,du =\int_{w=1}^{10}\frac{\sqrt{w}}{18}\,dw =\frac{1}{18}\int_{1}^{10}w^{1/2}\,dw =\frac{1}{18}\cdot\frac{2}{3}\Bigl[w^{3/2}\Bigr]_{1}^{10} =\frac{1}{27}\bigl(10^{3/2}-1^{3/2}\bigr).

Resposta

\int_{C}2y\,dr =\frac{10\sqrt{10}-1}{27}.

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