Calcule
sendo dados:
e
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Vetor campo:
. - Curva parametrizada:
, com . - Pedido: calcular
.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (explicação didática):
Quando uma curva é parametrizada por ,
, a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de
é dada por
Quando uma curva é parametrizada por
O porquê, em palavras simples:
é o vetor tangente que indica o deslocamento infinitesimal
ao variar
;
é o campo avaliado no ponto da curva; o produto escalar mede a componente do campo na direção do deslocamento, e integrar soma essas contribuições ao longo da curva.
Passo 3
Calcular a derivada da parametrização
.
Derivando componente a componente:
Passo 4
Avaliar o campo
ao longo da curva, isto é
.
Substituindo ,
,
em
, obtemos
Substituindo
Passo 5
Calcular o produto escalar
.
Multiplicando componente a componente:
Multiplicando componente a componente:
Simplificando os termos:
Usando a identidade trigonométrica
, temos
Passo 6
Montar a integral e integrar (passo a passo).
Pela fórmula do Passo 2,
Pela fórmula do Passo 2,
Para integrar
pode-se usar a primitiva conhecida:
porque, em geral,
.
Passo 7
Avaliar a integral definida nos limites
e
.
Calcular os valores:
Substituindo:
Passo 8
Interpretação rápida e incentivo:
O valor da integral é . Intuitivamente, isso representa o trabalho realizado pelo campo
ao mover um ponto ao longo do arco de circunferência dado por
de
até
. Mandou bem por trazer esse problema — está ficando mais fácil a cada exercício!
O valor da integral é