Calcule \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r} sendo dados:
\vec{F}(x, y, z)=x \vec{i}-y \vec{j}+z \vec{k} e \gamma(t)=(\sin t, \cos t, 0), 0 \leq t \leq \pi / 2.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Vetor campo: \vec{F}(x,y,z)=x\,\vec{i}-y\,\vec{j}+z\,\vec{k}.
  • Curva parametrizada: \gamma(t)=(\sin t,\cos t,0), com 0\le t\le \pi/2.
  • Pedido: calcular \displaystyle \int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (explicação didática):
Quando uma curva é parametrizada por \gamma(t), a\le t\le b, a integral de linha de um campo vetorial \vec{F} ao longo de \gamma é dada por
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{a}^{b}\vec{F}(\gamma(t))\cdot \gamma'(t)\,dt.
O porquê, em palavras simples: \gamma'(t) é o vetor tangente que indica o deslocamento infinitesimal d\vec{r} ao variar t; \vec{F}(\gamma(t)) é o campo avaliado no ponto da curva; o produto escalar mede a componente do campo na direção do deslocamento, e integrar soma essas contribuições ao longo da curva.

Passo 3

Calcular a derivada da parametrização \gamma(t).
\gamma(t)=(\sin t,\cos t,0)
Derivando componente a componente:
\gamma'(t)=(\cos t,-\sin t,0).

Passo 4

Avaliar o campo \vec{F} ao longo da curva, isto é \vec{F}(\gamma(t)).
Substituindo x=\sin t, y=\cos t, z=0 em \vec{F}(x,y,z)=x\,\vec{i}-y\,\vec{j}+z\,\vec{k}, obtemos
\vec{F}(\gamma(t))=(\sin t,-\cos t,0).

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t).
Multiplicando componente a componente:
\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t) =(\sin t)(\cos t)+(-\cos t)(- \sin t)+0\cdot0.
Simplificando os termos:
(\sin t)(\cos t)+(\cos t)(\sin t)=2\sin t\cos t.
Usando a identidade trigonométrica 2\sin t\cos t=\sin(2t), temos
\vec{F}(\gamma(t))\cdot\gamma'(t)=\sin(2t).

Passo 6

Montar a integral e integrar (passo a passo).
Pela fórmula do Passo 2,
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{\pi/2}\sin(2t)\,dt.
Para integrar \sin(2t) pode-se usar a primitiva conhecida:
\int \sin(2t)\,dt=-\tfrac{1}{2}\cos(2t)+C,
porque, em geral, \int \sin(k t)\,dt=-\tfrac{1}{k}\cos(k t)+C.

Passo 7

Avaliar a integral definida nos limites 0 e \pi/2.
\int_{0}^{\pi/2}\sin(2t)\,dt=\left[-\tfrac{1}{2}\cos(2t)\right]_{0}^{\pi/2}.
Calcular os valores:
\cos(2\cdot \tfrac{\pi}{2})=\cos(\pi)=-1,\qquad \cos(0)=1.
Substituindo:
-\tfrac{1}{2}\big(\cos(\pi)-\cos(0)\big)=-\tfrac{1}{2}(-1-1)=-\tfrac{1}{2}(-2)=1.

Passo 8

Interpretação rápida e incentivo:
O valor da integral é 1. Intuitivamente, isso representa o trabalho realizado pelo campo \vec{F} ao mover um ponto ao longo do arco de circunferência dado por \gamma de t=0 até t=\pi/2. Mandou bem por trazer esse problema — está ficando mais fácil a cada exercício!

Resposta

\;1

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