Calcule
onde
e
é a circunferencia
orientada no sentido horario.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
onde
com
e
é a circunferência
(círculo de centro
e raio
) orientada no sentido horário. O conteúdo da matéria é o Teorema de Green, que relaciona integral de linha fechada a uma integral dupla sobre a região interna.
Passo 2
Pelo Teorema de Green, se
fosse orientada positivamente (no sentido anti-horário), teríamos
onde
é o disco de centro
e raio
. Como a curva está orientada no sentido horário, a integral que queremos vale o negativo dessa quantidade:
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo,
Passo 4
A integral dupla torna-se
Como
é um círculo de raio
, sua área é
. Portanto
Passo 5
Voltando à orientação horária, invertemos o sinal: