Calcule \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \gamma onde \vec{F}(x, y)=\left(4 x^{3} y^{3}+2 y, 3 x^{4} y^{2}-5 x-y^{3}\right) e \gamma é a circunferencia x^{2}+y^{2}=2 x orientada no sentido horario.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\gamma
onde \vec F(x,y)=(P,Q) com
P(x,y)=4x^3y^3+2y, \quad Q(x,y)=3x^4y^2-5x-y^3,
e \gamma é a circunferência x^2+y^2=2x (círculo de centro (1,0) e raio 1) orientada no sentido horário. O conteúdo da matéria é o Teorema de Green, que relaciona integral de linha fechada a uma integral dupla sobre a região interna.

Passo 2

Pelo Teorema de Green, se \gamma fosse orientada positivamente (no sentido anti-horário), teríamos
\oint_{\gamma_{\rm ccw}}P\,dx+Q\,dy =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA,
onde D é o disco de centro (1,0) e raio 1. Como a curva está orientada no sentido horário, a integral que queremos vale o negativo dessa quantidade:
\int_{\gamma} \vec F\cdot d\gamma =-\oint_{\gamma_{\rm ccw}}P\,dx+Q\,dy.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^4y^2-5x-y^3\bigr) =12x^3y^2-5,
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(4x^3y^3+2y\bigr) =12x^3y^2+2.
Logo,
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =(12x^3y^2-5)-(12x^3y^2+2) =-7.

Passo 4

A integral dupla torna-se
\iint_{D}(-7)\,dA =-7\;\mathrm{Area}(D).
Como D é um círculo de raio 1, sua área é \pi. Portanto
\oint_{\gamma_{\rm ccw}}P\,dx+Q\,dy =-7\pi.

Passo 5

Voltando à orientação horária, invertemos o sinal:
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\gamma =-\bigl(-7\pi\bigr) =7\pi.

Resposta

7\pi

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