Calcule a integral:
\iint_{\sigma} \operatorname{rot}(\vec{F}) \cdot \vec{\eta} d S
onde \sigma é a porção do paraboloide z=1-x^{2}-y^{2}, \operatorname{com} z \geq 0, \vec{\eta} é a normal cuja componente em z é não-negativa e \vec{F}(x, y, z)=(y, z, x).

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iint_{\sigma}\operatorname{rot}(\vec F)\cdot\vec\eta\,dS
onde \sigma é o pedaço do paraboloide z=1-x^2-y^2 com z\ge0, orientado com a normal de componente z não-negativa.
Isso é um clássico para aplicar o Teorema de Stokes, que transforma a integral de superfície do rotacional numa integral de linha sobre a fronteira \partial\sigma.

Passo 2

Vamos achar \operatorname{rot}\vec F para \vec F=(y,z,x).
Usando
\operatorname{rot}\vec F =\Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\,\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\,\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)
com P=y, Q=z, R=x, vem
\operatorname{rot}\vec F =(0-1,\;0-1,\;0-1) =(-1,-1,-1).

Passo 3

Pelo Teorema de Stokes
\iint_{\sigma}\operatorname{rot}\vec F\cdot\vec\eta\,dS =\oint_{\partial\sigma}\vec F\cdot d\vec r.
A curva \partial\sigma é a interseção do paraboloide com z=0, ou seja
x^2+y^2=1,\quad z=0,
vista de cima e percorrida no sentido anti-horário.

Passo 4

Parametrizamos \partial\sigma por
\vec r(t)=(\cos t,\sin t,0),\quad t\in[0,2\pi].
Então
d\vec r=(-\sin t,\cos t,0)\,dt, \qquad \vec F(\vec r(t))=(\sin t,0,\cos t).
Dessa forma
\vec F\cdot d\vec r =(\sin t,0,\cos t)\cdot(-\sin t,\cos t,0)\,dt =-\sin^2t\,dt.

Passo 5

Basta integrar de 0 a 2\pi:
\oint_{\partial\sigma}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{2\pi}-\sin^2t\,dt =-\int_{0}^{2\pi}\frac{1-\cos(2t)}{2}\,dt =-\frac{1}{2}\bigl[2\pi-0\bigr] =-\pi.
Logo a integral de superfície vale -\pi.

Resposta

-\pi

Exercícios relacionados