Calcule a integral:
onde
é a porção do paraboloide
é a normal cuja componente em
é não-negativa e
.
Passo 1
O enunciado pede calcular
onde
é o pedaço do paraboloide
com
, orientado com a normal de componente
não-negativa.
Isso é um clássico para aplicar o Teorema de Stokes, que transforma a integral de superfície do rotacional numa integral de linha sobre a fronteira .
Isso é um clássico para aplicar o Teorema de Stokes, que transforma a integral de superfície do rotacional numa integral de linha sobre a fronteira
Passo 2
Vamos achar
para
.
Usando
Usando
com
,
,
, vem
Passo 3
Pelo Teorema de Stokes
A curva
é a interseção do paraboloide com
, ou seja
vista de cima e percorrida no sentido anti-horário.
Passo 4
Parametrizamos
por
Então
Dessa forma
Passo 5
Basta integrar de
a
:
Logo a integral de superfície vale
.