Uma linha de transmissão opera a w=10^{6} \mathrm{rad} / \mathrm{s} e tem \alpha=0,921 \mathrm{~Np} / \mathrm{m}, \beta=1 \mathrm{rad} / \mathrm{m} e \quad Z_{0}= 60+\mathrm{j} 40 \Omega e tem 10 m de comprimento. Se a linha está conectada à uma fonte de 20 L 0^{0}, \mathrm{Z}_{\mathrm{g}}=40 \Omega e está terminada por uma carga de 40-\mathrm{j} 60 \Omega, determine:
a) A impedância de entrada;
b) A corrente e a tensão na entrada da linha;
c) A tensão e a corrente na metade da linha;
d) A potência média dissipada na carga;

Passo 1

O enunciado descreve uma linha de transmissão de comprimento l=10\\ \mathrm{m} operando em \omega=10^{6}\\ \mathrm{rad/s}, com constante de propagação
\gamma = \alpha + j\beta = 0{,}921 + j1\quad\mathrm{(Np/m + rad/m)}
e impedância característica
Z_{0} = 60 + j40\\ \Omega.
A linha está conectada a uma fonte V_{g}=20\angle0^\circ\\ \mathrm{V} com resistência interna Z_{g}=40\\ \Omega e terminada em carga
Z_{L}=40 - j60\\ \Omega.
Os itens pedem:
a) impedância de entrada Z_{\mathrm{in}};
b) corrente I_{\mathrm{in}} e tensão V_{\mathrm{in}} na entrada;
c) tensão e corrente na metade da linha (isto é, em z=5\\ \mathrm{m} a partir da carga);
d) potência média dissipada na carga.

Passo 2

Para achar Z_{\mathrm{in}} usamos a fórmula geral
Z_{\mathrm{in}} = Z_{0}\,\frac{Z_{L} + Z_{0}\operatorname{tanh}(\gamma l)}{\,Z_{0} + Z_{L}\operatorname{tanh}(\gamma l)\,}.
Calculamos primeiro \operatorname{tanh}(\gamma l) com
\gamma l = (0{,}921 + j1)\cdot10 = 9{,}21 + j10.
Como \Re(2\gamma l)=18{,}42 é grande, \operatorname{cosh}(2\cdot9{,}21) domina e resulta
\operatorname{tanh}(9{,}21 + j10)\approx1 + j\,\frac{\sin(20)}{\operatorname{cosh}(18{,}42)}\approx1 + j\,1{,}8\times10^{-8}\approx1.
Substituindo em Z_{\mathrm{in}}:
Z_{\mathrm{in}}\approx Z_{0}\,\frac{Z_{L} + Z_{0}}{Z_{0} + Z_{L}} =Z_{0}\times1 =60 + j40\\ \Omega.

Passo 3

A corrente de entrada é
I_{\mathrm{in}} = \frac{V_{g}}{Z_{g} + Z_{\mathrm{in}}} =\frac{20\angle0^\circ}{40 + (60 + j40)} =\frac{20}{100 + j40}.
Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado:
I_{\mathrm{in}} =\frac{20(100 - j40)}{100^{2}+40^{2}} =\frac{2000 - j800}{11600} =0{,}1724 - j0{,}0690\\ \mathrm{A}
\bigl|I_{\mathrm{in}}\bigr|=0{,}1868\\ \mathrm{A},\qquad \arg I_{\mathrm{in}}=-21{,}8^\circ.
A tensão de entrada é
V_{\mathrm{in}} = I_{\mathrm{in}}\;Z_{\mathrm{in}} =(0{,}1724 - j0{,}0690)(60 + j40) =13{,}104 + j2{,}756\\ \mathrm{V}
\bigl|V_{\mathrm{in}}\bigr|=13{,}391\\ \mathrm{V},\qquad \arg V_{\mathrm{in}}=11{,}9^\circ.

Passo 4

Como a linha é fortemente atenuante ( \alpha l=9{,}21 grande), desprezamos a onda refletida e temos apenas onda progressiva. Em z metros da entrada (medido em direção à carga),
V(z)=V_{\mathrm{in}}\,e^{-\gamma\,z},\qquad I(z)=I_{\mathrm{in}}\,e^{-\gamma\,z}.
Na metade da linha ( z=5\\ \mathrm{m}):
\gamma\cdot5=4{,}605 + j5,\quad e^{-4{,}605}=0{,}01,\quad e^{-j5}=e^{-j286{,}48^\circ}.
Logo
V(5)=13{,}104+j2{,}756\;\times0{,}01\;e^{-j5} \approx0{,}1349\angle85{,}4^\circ\\ \mathrm{V},
I(5)=0{,}1868\angle(-21{,}8^\circ)\times0{,}01\;e^{-j5} \approx0{,}001868\angle51{,}7^\circ\\ \mathrm{A}.

Passo 5

A corrente na carga é
I_{L}=I_{\mathrm{in}}\,e^{-\gamma\,l} =0{,}1868\angle(-21{,}8^\circ)\;e^{-(9{,}21+j10)} =0{,}1868\;e^{-9{,}21}\angle(-21{,}8^\circ-10\,\mathrm{rad})
\bigl|I_{L}\bigr|=0{,}1868\;e^{-9{,}21}\approx1{,}865\times10^{-5}\\ \mathrm{A}.
A potência média dissipada na carga é
P_{L} =\tfrac12\,\bigl|I_{L}\bigr|^{2}\Re(Z_{L}) =\tfrac12\,(1{,}865\times10^{-5})^{2}\times40 \approx6{,}96\times10^{-9}\\ \mathrm{W}.

Resposta

a) Z_{\mathrm{in}}=60 + j40\\ \Omega
b) I_{\mathrm{in}}=0{,}1868\angle(-21{,}8^\circ)\\ \mathrm{A},\quad V_{\mathrm{in}}=13{,}391\angle11{,}9^\circ\\ \mathrm{V}
c) V(5)=0{,}1349\angle85{,}4^\circ\\ \mathrm{V},\quad I(5)=0{,}001868\angle51{,}7^\circ\\ \mathrm{A}
d) P_{L}\approx6{,}96\times10^{-9}\\ \mathrm{W}

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