• Exemplo 1: Seja T: R^{2} \rightarrow R^{2} o operador linear definida por T(x, y)=(-3 x+4 y,-x+2 y) cuja matriz em relação à base canônica \alpha\{(1,0),(0,1)\} é:
[T]_{\alpha}^{\alpha}=\left(\begin{array}{ll} -3 & 4 \\\\ -1 & 2 \end{array}\right)
  • encontrar uma base \beta de autovetores, se possível, e ainda observar de que tipo é a matriz [T]^{\beta}{ }_{\beta}

Passo 1

O enunciado dá o operador linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\quad T(x,y)=(-3x+4y,\,-x+2y)
cuja matriz na base canônica \alpha é
[T]_{\alpha}^{\alpha} =\begin{pmatrix}-3 & 4 \\[6pt] -1 & 2\end{pmatrix}.
O objetivo é encontrar uma base \beta formada por autovetores (caso exista) e então identificar o tipo de matriz [T]_{\beta}^{\beta}. Vamos usar teoria de autovalores e autovetores: calcular o polinômio característico, obter os autovalores, depois os autovetores e enfim ver se diagonaliza.]

Passo 2

Para achar os autovalores, montamos o polinômio característico
\det\bigl([T]_{\alpha}^{\alpha}-\lambda I\bigr) =\det\begin{pmatrix}-3-\lambda & 4 \\[4pt]-1 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
Calculando o determinante:
(-3-\lambda)(2-\lambda)-4\cdot(-1) =(\lambda^2+\lambda-6)+4 =\lambda^2+\lambda-2.
Logo o polinômio característico é
\lambda^2+\lambda-2=0.]

Passo 3

Resolvendo \lambda^2+\lambda-2=0 por fórmula de Bhaskara,
\lambda=\frac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2} =\frac{-1\pm3}{2},
obtêm-se dois autovalores distintos
\lambda_1=1,\quad \lambda_2=-2.

Passo 4

Para \lambda_1=1, resolvemos
\bigl([T]_{\alpha}^{\alpha}-I\bigr)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}-4 & 4 \\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira equação -4x+4y=0 vem y=x. Um autovetor associado é, por exemplo,
v_1=(1,1).]

Passo 5

Para \lambda_2=-2, resolvemos
\bigl([T]_{\alpha}^{\alpha}+2I\bigr)v=0 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}-1 & 4 \\[4pt]-1 & 4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix}.
Da primeira equação -x+4y=0 vem x=4y. Um autovetor associado é
v_2=(4,1).]

Passo 6

Como há dois autovalores distintos em \mathbb{R}^2, o operador é diagonalizável. A base
\beta=\{v_1,v_2\}=\{(1,1),(4,1)\}
é formada por autovetores, e na base \beta a matriz de T fica diagonal com os autovalores na diagonal:
[T]_{\beta}^{\beta} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\[4pt] 0 & -2 \end{pmatrix}.]

Resposta

\beta=\{(1,1),(4,1)\} e
[T]_{\beta}^{\beta} =\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & -2 \end{pmatrix}.

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