Prove que se u_{1}(x, t) e u_{2}(x, t) satisfazem a equação diferencial parcial
\alpha^{2} u_{x x}=u_{t}, \quad 0<x<L, \quad t>0
e as condições de contorno
u(0, t)=0, u(L, t)=0, \quad t>0
então qualquer função da forma
v(x, t)=c_{1} u_{1}(x, t)+c_{2} u_{2}(x, t)
em que c_{1} e c_{2} são constantes quaisquer, também satisfazem (1) e (3).

Passo 1

O enunciado trata da equação de difusão unidimensional
\alpha^{2}u_{xx}=u_{t},\quad 0<x<L,\;t>0
com condições de contorno homogêneas
u(0,t)=0,\quad u(L,t)=0,\quad t>0.
Ele afirma que u_{1} e u_{2} são soluções desse problema e pede para mostrar que qualquer combinação linear
v(x,t)=c_{1}u_{1}(x,t)+c_{2}u_{2}(x,t)
também é solução. O que vamos usar é a linearidade do operador diferencial.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de v. Como c_{1} e c_{2} são constantes, vale
v_{xx}(x,t) =c_{1}\,u_{1,xx}(x,t)+c_{2}\,u_{2,xx}(x,t),
v_{t}(x,t) =c_{1}\,u_{1,t}(x,t)+c_{2}\,u_{2,t}(x,t).

Passo 3

Substituindo na equação \alpha^{2}v_{xx}=v_{t}, obtemos
\alpha^{2}v_{xx}-v_{t} =c_{1}\bigl(\alpha^{2}u_{1,xx}-u_{1,t}\bigr) +c_{2}\bigl(\alpha^{2}u_{2,xx}-u_{2,t}\bigr).
Mas u_{1} e u_{2} satisfazem \alpha^{2}u_{i,xx}=u_{i,t}, logo cada parêntese é zero, e
\alpha^{2}v_{xx}-v_{t}=0.
Isso mostra que v satisfaz a equação de difusão.

Passo 4

Verifiquemos as condições de contorno:
v(0,t)=c_{1}u_{1}(0,t)+c_{2}u_{2}(0,t) = c_{1}\cdot 0 + c_{2}\cdot 0 = 0,
v(L,t)=c_{1}u_{1}(L,t)+c_{2}u_{2}(L,t) = c_{1}\cdot 0 + c_{2}\cdot 0 = 0.
Portanto, v também satisfaz v(0,t)=v(L,t)=0.

Resposta

A combinação linear
v(x,t)=c_{1}u_{1}(x,t)+c_{2}u_{2}(x,t)
satisfaz tanto a equação \alpha^{2}v_{xx}=v_{t} quanto as condições de contorno homogêneas.

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