Prove que se
e
satisfazem a equação diferencial parcial
e as condições de contorno
então qualquer função da forma
em que
e
são constantes quaisquer, também satisfazem (1) e (3).
Passo 1
O enunciado trata da equação de difusão unidimensional
com condições de contorno homogêneas
Ele afirma que
e
são soluções desse problema e pede para mostrar que qualquer combinação linear
também é solução. O que vamos usar é a linearidade do operador diferencial.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
. Como
e
são constantes, vale
Passo 3
Substituindo na equação
, obtemos
Mas
e
satisfazem
, logo cada parêntese é zero, e
Isso mostra que
satisfaz a equação de difusão.
Passo 4
Verifiquemos as condições de contorno:
Portanto,
também satisfaz
.
Resposta
A combinação linear
satisfaz tanto a equação
quanto as condições de contorno homogêneas.