Encontre a função u(x, y) que satisfaz a equação Laplace
u_{x x}+u_{y y}=0,no retângulo 0<x<a, 0<y<b, e as condições de contorno
\begin{gathered} u(x, 0)=0, \quad u(x, b)=0, \quad 0<x<a, \\ u(0, y)=0, \quad u(a, y)=f(y), \quad 0 \leqslant y \leqslant b,\end{gathered}nos casos em que a função f é dada por
f(y)=\left\{\begin{array}{rr}2-y, & 0 \leqslant y \leqslant \frac{1}{2} \\\ y, & \frac{1}{2} \leqslant y \leqslant 1\end{array}\right..

Passo 1

Temos a equação de Laplace
u_{xx}+u_{yy}=0
no retângulo 0<x<a,\;0<y<1\), com condições de contorno \[u(x,0)=0,\quad u(x,1)=0,\quad u(0,y)=0,\quad u(a,y)=f(y),
onde
f(y)= \begin{cases} 2-y,&0\le y\le\tfrac12,\\\ y,&\tfrac12\le y\le1. \end{cases}
O problema é clássico de Dirichlet com três lados nulos e lado x=a\] dado por \(f(y). Vamos usar o método de separação de variáveis e expandir f em série de senos em y.

Passo 2

Buscamos solução na forma
u(x,y)=X(x)\,Y(y).
Substituindo na equação de Laplace e dividindo por XY
\frac{X''(x)}{X(x)}+\frac{Y''(y)}{Y(y)}=0\quad\Longrightarrow\quad \frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=\lambda,
onde \lambda é constante de separação. Obtemos dois ODEs:
Y''+\lambda\,Y=0,\quad X''-\lambda\,X=0.

Passo 3

Das condições u(x,0)=u(x,1)=0 vem Y(0)=Y(1)=0. O problema de Sturm–Liouville
Y''+\lambda Y=0,\;Y(0)=Y(1)=0
tem autofunções
Y_n(y)=\sin(n\pi y),\quad\lambda_n=(n\pi)^2,\quad n=1,2,3,\dots

Passo 4

Para cada n, a equação de X é
X''-(n\pi)^2X=0
cuja solução geral é X_n(x)=A_n e^{n\pi x}+B_n e^{-n\pi x}. A condição u(0,y)=0 força X_n(0)=0, logo A_n+B_n=0 e
X_n(x)=C_n\operatorname{sinh}(n\pi x).
Assim cada modo é
u_n(x,y)=C_n\,\operatorname{sinh}(n\pi x)\,\sin(n\pi y).

Passo 5

A condição em x=a impõe
u(a,y)=\sum_{n=1}^\infty C_n\,\operatorname{sinh}(n\pi a)\,\sin(n\pi y) =f(y).
Expandindo f em série de senos,
f(y)=\sum_{n=1}^\infty b_n\sin(n\pi y),
onde, pela ortogonalidade,
b_n=2\int_{0}^{1}f(y)\,\sin(n\pi y)\,dy.
Portanto
C_n=\frac{b_n}{\operatorname{sinh}(n\pi a)}
e a solução fica
u(x,y) =\sum_{n=1}^\infty \frac{b_n}{\operatorname{sinh}(n\pi a)}\;\operatorname{sinh}(n\pi x)\;\sin(n\pi y).

Passo 6

Calculamos
b_n =2\int_{0}^{1/2}(2-y)\sin(n\pi y)\,dy \;+\;2\int_{1/2}^{1}y\sin(n\pi y)\,dy.
Esses integrais podem ser avaliados por partes de modo padrão. Mantendo a forma integral, temos a resposta final:

Resposta

\boxed{ u(x,y) =\sum_{n=1}^{\infty} \Biggl[\, \frac{2}{\operatorname{sinh}(n\pi a)} \int_{0}^{1}f(s)\,\sin(n\pi s)\,ds \Biggr] \operatorname{sinh}(n\pi x)\,\sin(n\pi y), }
com
f(s)= \begin{cases} 2-s,&0\le s\le\tfrac12,\\\ s,&\tfrac12\le s\le1, \end{cases} \quad b_n=2\int_{0}^{1}f(s)\sin(n\pi s)\,ds.

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