Encontre a função
que satisfaz a equação Laplace
no retângulo
, e as condições de contorno
nos casos em que a função
é dada por
.
Passo 1
Temos a equação de Laplace
no retângulo
onde
O problema é clássico de Dirichlet com três lados nulos e lado
. Vamos usar o método de separação de variáveis e expandir
em série de senos em
.
Passo 2
Buscamos solução na forma
Substituindo na equação de Laplace e dividindo por
dá
onde
é constante de separação. Obtemos dois ODEs:
Passo 3
Das condições
vem
. O problema de Sturm–Liouville
tem autofunções
Passo 4
Para cada
, a equação de
é
cuja solução geral é
. A condição
força
, logo
e
Assim cada modo é
Passo 5
A condição em
impõe
Expandindo
em série de senos,
onde, pela ortogonalidade,
Portanto
e a solução fica
Passo 6
Calculamos
Esses integrais podem ser avaliados por partes de modo padrão. Mantendo a forma integral, temos a resposta final:
Resposta
com