Calcule \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \gamma, onde \vec{F}(x, y)=\left(0, x+y^{2}\right) e \gamma é a poligonal de vértices A_{0}=(1,1), A_{1}=(-1,1), A_{2}=(-1,-1) e A_{3}=(1,-1), sendo \gamma orientada de A_{0} para A_{3}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\gamma
onde \vec{F}(x,y)=(0,\,x+y^2) e \gamma é a poligonal de vértices
A_0=(1,1)\to A_1=(-1,1)\to A_2=(-1,-1)\to A_3=(1,-1),
orientada de A_0 para A_3. O conteúdo aqui é integral de linha de um campo vetorial, e vamos precisar parametrizar cada segmento ou usar diretamente d\gamma=(dx,dy).

Passo 2

Note que
\vec{F}\cdot d\gamma = (0,\,x+y^2)\cdot(dx,dy) = (x+y^2)\,dy.
Logo basta somar as contribuições de \int(x+y^2)\,dy em cada segmento.

Passo 3

Dividimos o caminho em três segmentos:
Segmento 1 de A_0 a A_1: y=1 constante, logo dy=0.
\int_{A_0}^{A_1}(x+y^2)\,dy = 0.
Segmento 2 de A_1 a A_2: x=-1 constante e y varia de 1 a -1.
\int_{A_1}^{A_2}(x+y^2)\,dy = \int_{y=1}^{y=-1}\bigl(-1 + y^2\bigr)\,dy.
Segmento 3 de A_2 a A_3: y=-1 constante, logo dy=0.
\int_{A_2}^{A_3}(x+y^2)\,dy = 0.

Passo 4

Calculamos a contribuição não nula no segmento 2:
\int_{1}^{-1}(-1+y^2)\,dy = \Bigl[-y + \tfrac{y^3}{3}\Bigr]_{1}^{-1} = \bigl[-(-1)+\tfrac{(-1)^3}{3}\bigr] \;-\;\bigl[-1+\tfrac{1^3}{3}\bigr] = (1-\tfrac{1}{3}) -(-1-\tfrac{1}{3}) = \tfrac{2}{3} -\bigl(-\tfrac{4}{3}\bigr) = \tfrac{2}{3} + \tfrac{4}{3} = \tfrac{6}{3} = 2.
Porém atenção: esse resultado está trocando os limites; o correto é
\int_{1}^{-1}(-1+y^2)\,dy = -\int_{-1}^{1}(y^2-1)\,dy = -\Bigl[\tfrac{y^3}{3}-y\Bigr]_{-1}^{1} = -\bigl[(\tfrac{1}{3}-1)-(-\tfrac{1}{3}+1)\bigr] = -\bigl(-\tfrac{2}{3}-\tfrac{2}{3}\bigr) = \tfrac{4}{3}.

Resposta

\int_{\gamma}\vec{F}\cdot d\gamma = \tfrac{4}{3}.

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