Determine as equações diferencias de segunda ordem a seguir:
y^{\prime \prime}(t)+13 y(t)=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de segunda ordem homogênea com coeficientes constantes
y''(t) + 13\,y(t) = 0.
O conteúdo aqui é resolver equações lineares homogêneas de segunda ordem via polinômio característico.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y(t)=e^{r t}. Substituindo na equação diferencial, obtemos o polinômio característico
r^2 + 13 = 0.

Passo 3

Resolvendo
r^2 + 13 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^2 = -13 \quad\Longrightarrow\quad r = \pm i\sqrt{13}.

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas r = \pm i\sqrt{13}, a forma da solução geral é
y(t) = C_1 \cos\bigl(\sqrt{13}\,t\bigr) + C_2 \sin\bigl(\sqrt{13}\,t\bigr),
onde C_1 e C_2 são constantes de integração.

Resposta

y(t) = C_1 \cos\bigl(\sqrt{13}\,t\bigr) + C_2 \sin\bigl(\sqrt{13}\,t\bigr).

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