Resolva as equações diferenciais homogêneas a seguir:
\left(y^{2}-x y\right) d x+x^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\bigl(y^{2}-x\,y\bigr)\,dx + x^{2}\,dy = 0
que é uma equação de primeira ordem homogênea. Para resolvê-la, vamos verificar a homogeneidade dos termos e usar a substituição
y = v\,x,
onde v é função de x.

Passo 2

Reescrevendo a equação na forma dy/dx, temos
\frac{dy}{dx} = -\,\frac{y^{2}-x\,y}{x^{2}} = -\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{2} + \frac{y}{x}.

Passo 3

Fazendo a troca y = v\,x implica
\frac{dy}{dx} = v + x\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo na equação do passo anterior, fica
v + x\,\frac{dv}{dx} = v - v^{2}.

Passo 4

Isolando o termo com dv/dx, obtemos
x\,\frac{dv}{dx} = -\,v^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dv}{dx} = -\,\frac{v^{2}}{x}.

Passo 5

Trata-se de uma equação separável. Separamos as variáveis e integramos:
\int v^{-2}\,dv = - \int x^{-1}\,dx \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac{1}{v} = -\,\ln\lvert x\rvert + C,
onde C é constante de integração. Assim,
\frac{1}{v} = \ln\lvert x\rvert + C'
(adotando C'=-C).

Passo 6

Voltando à variável original ( v = y/x), temos
\frac{x}{y} = \ln\lvert x\rvert + C' \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{x}{\ln\lvert x\rvert + C'}.

Resposta

y = \frac{x}{\ln\lvert x\rvert + C},
onde C é constante de integração.

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