Calcule \int_{\gamma} \vec{F} \cdot d \vec{r} sendo dados:
\vec{F}(x, y, z)=(x+y) \vec{i}+(x-y) \vec{j}+\left(1-t^{2}\right) \vec{k}, 0 \leq t \leq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r. As informações fornecidas no enunciado são:
  • o campo de vetores foi escrito como \vec F(x,y,z)=(x+y)\,\vec i+(x-y)\,\vec j+\bigl(1-t^{2}\bigr)\,\vec k;
  • aparece o intervalo 0\le t\le 1.
Perguntas claras do enunciado:
  • Calcular a integral de linha \displaystyle \int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r.
Informações relevantes que faltam ou estão ambíguas:
  • Não foi dada a parametrização da curva \gamma. Para uma integral de linha precisamos da função \vec r(t)=(x(t),y(t),z(t)) que descreve \gamma e o intervalo de parâmetro correspondente.
  • Há ambiguidade no campo: \vec F foi escrito como função de (x,y,z) mas o terceiro componente contém t. Não está claro se isso significa (i) que o autor já avaliou \vec F ao longo de uma parametrização \vec r(t) e escreveu o terceiro componente em termos de t, ou (ii) que houve um erro de escrita e o termo deveria ser \bigl(1-z^{2}\bigr) ou similar.
Por causa dessa falta de parametrização ou dessa ambiguidade, não é possível obter um valor numérico definitivo para a integral pedida sem esclarecer qual é \gamma.

Passo 2

Explicar didaticamente o que é e como se calcula a integral de linha — isto serve para você aplicar direto na prova quando souber a parametrização da curva.
Definição e fórmula prática:
  • Se a curva \gamma for dada por uma parametrização regular \vec r(t)=(x(t),y(t),z(t)) para t\in[a,b], então o diferencial de arco vetorial é
d\vec r=\vec r\,'(t)\,dt=(x'(t),y'(t),z'(t))\,dt.
  • Para um campo \vec F(x,y,z)=(F_1(x,y,z),F_2(x,y,z),F_3(x,y,z)), a integral de linha de \vec F ao longo de \gamma é
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r=\int_a^b \vec F\bigl(\vec r(t)\bigr)\cdot \vec r\,'(t)\,dt.
  • Em componentes isso fica
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r=\int_a^b \bigl(F_1(x(t),y(t),z(t))\,x'(t)+F_2(x(t),y(t),z(t))\,y'(t)+F_3(x(t),y(t),z(t))\,z'(t)\bigr)\,dt.
O que cada símbolo significa (explicação simples):
  • x(t),y(t),z(t) são as coordenadas do ponto na curva quando o parâmetro vale t.
  • x'(t),y'(t),z'(t) são as taxas de variação dessas coordenadas — vêm de derivar a parametrização.
  • F_1,F_2,F_3 são as componentes do campo \vec F, avaliadas nos pontos da curva (ou seja, substitui-se x(t),y(t),z(t) nas expressões de F_i).
  • O produto escalar \vec F(\vec r(t))\cdot\vec r\,'(t) dá uma função de t que se integra de a a b.
Dica prática para a prova:
  1. Identifique a parametrização \vec r(t) e o intervalo [a,b].
  2. Calcule \vec r\,'(t).
  3. Substitua x(t),y(t),z(t) nas componentes de \vec F para obter \vec F(\vec r(t)).
  4. Faça o produto escalar e integre de a até b.

Passo 3

Aplicando o método de forma simbólica ao caso dado (para você ver o processo completo). Suponha que a parametrização da curva seja \vec r(t)=(x(t),y(t),z(t)) para t\in[0,1] (o intervalo foi dado no enunciado, mas a parametrização não). Então:
  1. \vec r\,'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)).
  2. As componentes do campo avaliadas na curva seriam
F_1(x(t),y(t),z(t))=x(t)+y(t), \qquad F_2(x(t),y(t),z(t))=x(t)-y(t).
  1. Sobre F_3: o enunciado dá F_3=1-t^2. Se isto for intencional (ou seja, o autor já escreveu F_3 em termos de t), então ao calcular a integral usa-se exatamente esse 1-t^2 como terceira componente avaliada na curva. Se, em vez disso, F_3 devia ser uma função de z (por exemplo 1-z^2), então substitui-se z(t) aí. A escolha muda o resultado.
  2. Logo a integral, no caso em que F_3 já está em termos de t, fica
\int_0^1 \bigl((x(t)+y(t))x'(t)+(x(t)-y(t))y'(t)+(1-t^2)z'(t)\bigr)\,dt.
Isto é a expressão que você deve avaliar quando souber x(t),y(t),z(t).

Passo 4

Exemplo completo (apenas para treinar e ver as contas passo a passo). Vou escolher uma parametrização simples e legítima apenas para mostrar como se faz; isto NÃO resolve o enunciado original porque a curva real não foi especificada. Exemplo: tome \vec r(t)=(t,t,t), t\in[0,1]. (escolhi essa curva só para exemplificar o cálculo).
  1. Calcule \vec r\,'(t)=(1,1,1).
  2. Substitua nas componentes de \vec F. Aqui usamos a forma dada com F_3=1-t^2:
F_1=x+y=t+t=2t,\qquad F_2=x-y=t-t=0,\qquad F_3=1-t^2.
  1. Produto escalar:
\vec F(\vec r(t))\cdot\vec r\,'(t)=2t\cdot 1 + 0\cdot 1 + (1-t^2)\cdot 1 = 2t + 1 - t^2.
  1. Integre de 0 a 1:
\int_0^1 (2t+1-t^2)\,dt=\Bigl[t+t^2-\tfrac{t^3}{3}\Bigr]_0^1 = 1+1-\tfrac{1}{3}=2-\tfrac{1}{3}=\tfrac{5}{3}.
Resultado do exemplo: para \vec r(t)=(t,t,t) e com F_3=1-t^2 obtém-se \displaystyle \int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r=\tfrac{5}{3}. Repare como segui passo a passo para você poder reproduzir com qualquer outra parametrização.

Passo 5

Conclusão prática para a sua questão original:
  • Sem a parametrização explícita de \gamma (ou sem a indicação clara de que o terceiro componente de \vec F está já avaliado em t), não há como dar um valor numérico único para \displaystyle \int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r.
  • Quando tiver a parametrização \vec r(t)=(x(t),y(t),z(t)), aplique imediatamente a fórmula
\int_{\gamma}\vec F\cdot d\vec r=\int_a^b \vec F(\vec r(t))\cdot \vec r\,'(t)\,dt
seguindo os quatro passos práticos do Passo 2. Se o enunciado realmente quis dizer F_3=1-z^2, substitua z(t) em F_3; se quis dizer F_3=1-t^2 então use exatamente esse termo (e nesse caso o parâmetro t aparece dentro da definição de \vec F ao longo da curva).
Força aí — se você me mandar só a parametrização \vec r(t) da curva \gamma eu já calculo direto, passo a passo, como fiz no exemplo.

Resposta

Não é possível calcular a integral porque a curva \gamma (sua parametrização \vec r(t)) não foi especificada; falta essa informação.

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