Calcule
sendo dados:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
. As informações fornecidas no enunciado são:
- o campo de vetores foi escrito como
; - aparece o intervalo
.
Perguntas claras do enunciado:
- Calcular a integral de linha
.
Informações relevantes que faltam ou estão ambíguas:
- Não foi dada a parametrização da curva
. Para uma integral de linha precisamos da função que descreve e o intervalo de parâmetro correspondente. - Há ambiguidade no campo:
foi escrito como função de mas o terceiro componente contém . Não está claro se isso significa (i) que o autor já avaliou ao longo de uma parametrização e escreveu o terceiro componente em termos de , ou (ii) que houve um erro de escrita e o termo deveria ser ou similar.
Por causa dessa falta de parametrização ou dessa ambiguidade, não é possível obter um valor numérico definitivo para a integral pedida sem esclarecer qual é
.
Passo 2
Explicar didaticamente o que é e como se calcula a integral de linha — isto serve para você aplicar direto na prova quando souber a parametrização da curva.
Definição e fórmula prática:
- Se a curva
for dada por uma parametrização regular para , então o diferencial de arco vetorial é
- Para um campo
, a integral de linha de ao longo de é
- Em componentes isso fica
O que cada símbolo significa (explicação simples):
-
são as coordenadas do ponto na curva quando o parâmetro vale . -
são as taxas de variação dessas coordenadas — vêm de derivar a parametrização. -
são as componentes do campo , avaliadas nos pontos da curva (ou seja, substitui-se nas expressões de ). - O produto escalar
dá uma função de que se integra de a .
Dica prática para a prova:
- Identifique a parametrização
e o intervalo . - Calcule
. - Substitua
nas componentes de para obter . - Faça o produto escalar e integre de
até .
Passo 3
Aplicando o método de forma simbólica ao caso dado (para você ver o processo completo). Suponha que a parametrização da curva seja
para
(o intervalo foi dado no enunciado, mas a parametrização não). Então:
-
. - As componentes do campo avaliadas na curva seriam
-
Sobre
: o enunciado dá . Se isto for intencional (ou seja, o autor já escreveu em termos de ), então ao calcular a integral usa-se exatamente esse como terceira componente avaliada na curva. Se, em vez disso, devia ser uma função de (por exemplo ), então substitui-se aí. A escolha muda o resultado. -
Logo a integral, no caso em que
já está em termos de , fica
Isto é a expressão que você deve avaliar quando souber
.
Passo 4
Exemplo completo (apenas para treinar e ver as contas passo a passo). Vou escolher uma parametrização simples e legítima apenas para mostrar como se faz; isto NÃO resolve o enunciado original porque a curva real não foi especificada. Exemplo: tome
,
. (escolhi essa curva só para exemplificar o cálculo).
- Calcule
. - Substitua nas componentes de
. Aqui usamos a forma dada com :
- Produto escalar:
- Integre de
a :
Resultado do exemplo: para
e com
obtém-se
. Repare como segui passo a passo para você poder reproduzir com qualquer outra parametrização.
Passo 5
Conclusão prática para a sua questão original:
- Sem a parametrização explícita de
(ou sem a indicação clara de que o terceiro componente de está já avaliado em ), não há como dar um valor numérico único para . - Quando tiver a parametrização
, aplique imediatamente a fórmula
seguindo os quatro passos práticos do Passo 2. Se o enunciado realmente quis dizer
, substitua
em
; se quis dizer
então use exatamente esse termo (e nesse caso o parâmetro
aparece dentro da definição de
ao longo da curva).
Força aí — se você me mandar só a parametrização
da curva
eu já calculo direto, passo a passo, como fiz no exemplo.
Resposta
Não é possível calcular a integral porque a curva
(sua parametrização
) não foi especificada; falta essa informação.