O campo de velocidades de um fluido é definido por
. Encontre a taxa de escoamento do fluido para fora da região
, limitada por uma curva fechada, suave,
e cuja área seja
.
Passo 1
O enunciado dá o campo de velocidades
e diz que a região
é limitada por uma curva fechada suave
e tem área
.
O que se pede: a taxa de escoamento do fluido para fora da região (isto é, o fluxo líquido saindo de
através da fronteira
).
Informações relevantes dadas:
O que se pede: a taxa de escoamento do fluido para fora da região
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Definição do fluxo (taxa de escoamento) através da fronteira: se escrevemos
com
e
, então o fluxo total para fora de
é o integral de linha
onde
é o vetor normal unitário apontando para fora e
é o elemento de comprimento ao longo de
. Esse integral dá a taxa líquida de fluido que sai da região através da curva
.
Passo 3
Teorema que vamos usar (forma bidimensional do teorema de Gauss / forma de fluxo de Green): o fluxo para fora de
pode ser transformado em uma integral de área sobre
usando a divergência do campo. A fórmula é
Explicação intuitiva:
é a divergência do campo em cada ponto — ela mede a taxa local de “geração” ou “sumiço” de fluido por unidade de área. Integrando essa taxa sobre toda a área de
obtemos o fluxo total saindo da região.
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais necessárias. Tomando
e
, temos
Somando,
Observação: a divergência é uma constante igual a
, ou seja, em todo ponto da região a “taxa local” é a mesma.
Passo 5
Como a divergência é constante
, a integral de área fica muito simples:
Usando a área fornecida no enunciado,
(informação retirada do enunciado), obtemos
Passo 6
Interpretação física curta e dica de prova: como a divergência é constante e positiva (
), há saída líquida de fluido da região; o fluxo depende só da área de
, não da forma da curva
. Em prova, ao ver divergência constante, lembrar imediatamente que o fluxo é essa constante multiplicada pela área — isso economiza tempo e evita cálculos de contorno.