(1,5) O campo de velocidades de um fluido é definido por \vec{v}(x, y)=(5 x-y) \vec{i}+\left(x^{2}-3 y\right) \vec{j}. Encontre a taxa de escoamento do fluido para fora da região R, limitada por uma curva fechada, suave, C e cuja área seja 75 \mathrm{~cm}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá o campo de velocidades
\vec{v}(x,y) = (5x - y)\,\vec{i} + (x^{2} - 3y)\,\vec{j}
e diz que a região R é limitada por uma curva fechada suave C e tem área 75\\ \mathrm{cm}^{2}.
O que se pede: a taxa de escoamento do fluido para fora da região R (isto é, o fluxo líquido saindo de R através da fronteira C).
Informações relevantes dadas:
\vec{v}(x,y)\\ \text{(componentes explícitas)},\qquad \text{Área}(R)=75\\ \mathrm{cm}^{2}.íÁ

Passo 2

Definição do fluxo (taxa de escoamento) através da fronteira: se escrevemos \vec{v}=(P,Q) com P(x,y)=5x-y e Q(x,y)=x^{2}-3y, então o fluxo total para fora de R é o integral de linha
\oint_{C} \vec{v}\cdot \vec{n}\,ds,
onde \vec{n} é o vetor normal unitário apontando para fora e ds é o elemento de comprimento ao longo de C. Esse integral dá a taxa líquida de fluido que sai da região através da curva C.

Passo 3

Teorema que vamos usar (forma bidimensional do teorema de Gauss / forma de fluxo de Green): o fluxo para fora de R pode ser transformado em uma integral de área sobre R usando a divergência do campo. A fórmula é
\oint_{C} \vec{v}\cdot \vec{n}\,ds = \iint_{R} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)\,dA.
Explicação intuitiva: \dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y} é a divergência do campo em cada ponto — ela mede a taxa local de “geração” ou “sumiço” de fluido por unidade de área. Integrando essa taxa sobre toda a área de R obtemos o fluxo total saindo da região.

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais necessárias. Tomando P(x,y)=5x-y e Q(x,y)=x^{2}-3y, temos
\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(5x-y)=5,
\frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^{2}-3y)=-3.
Somando,
\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}=5+(-3)=2.
Observação: a divergência é uma constante igual a 2, ou seja, em todo ponto da região a “taxa local” é a mesma.

Passo 5

Como a divergência é constante 2, a integral de área fica muito simples:
\iint_{R} \left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}\right)\,dA = \iint_{R} 2\,dA = 2\iint_{R} dA = 2\cdot \text{Área}(R).Á
Usando a área fornecida no enunciado, \text{Área}(R)=75\\ \mathrm{cm}^{2}Á (informação retirada do enunciado), obtemos
\text{fluxo para fora} = 2\cdot 75 = 150.

Passo 6

Interpretação física curta e dica de prova: como a divergência é constante e positiva ( 2), há saída líquida de fluido da região; o fluxo depende só da área de R, não da forma da curva C. Em prova, ao ver divergência constante, lembrar imediatamente que o fluxo é essa constante multiplicada pela área — isso economiza tempo e evita cálculos de contorno.

Resposta

150\\ \mathrm{cm}^{2}/\mathrm{s}

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