Encontre as derivadas parciais de
nos seguintes casos.
Passo 1
O enunciado pede que a gente encontre as derivadas parciais de
para a função
Informações dadas:
Perguntas explícitas que vamos responder: calcular
e
.
Passo 2
O que é uma derivada parcial? Vou explicar de forma direta e útil para a prova. A derivada parcial de
em relação a
mede como
varia quando só mudamos
e mantemos
fixo. Formalmente,
Analogamente, a derivada parcial em relação a
é
Na prática (em cálculos de prova) usamos regras habituais de derivação (linearidade, regra do produto, regra da cadeia) tratando a outra variável como constante. Vou recapitular rapidamente as regras que usaremos:
- Derivada da soma: a derivada parcial da soma é a soma das derivadas parciais.
- Constante multiplicativa: se uma expressão não depende da variável de diferenciação, ela é constante e pode ser factorizada.
- Regra da cadeia (para exponencial): se temos
, então
porque a derivada de
em relação a
é
e multiplicamos pela derivada de
.
Passo 3
Calculando
.
Escrevemos a função e diferenciamos termo a termo:
Primeiro termo:
.
Aqui não depende de
, então, ao derivar em relação a
, tratamos
como constante. A derivada de
em relação a
é
. Portanto a contribuição desse termo é
Aqui
Segundo termo:
.
Aplicamos a regra da cadeia. Definimos . Então
. A derivada de
em relação a
é
. Como
e
é tratado como constante, temos
. Logo
Aplicamos a regra da cadeia. Definimos
Somando as contribuições (regra da soma):
Passo 4
Calculando
.
Novamente escrevemos a função e diferenciamos termo a termo:
Primeiro termo:
.
Agora, ao derivar em relação a ,
é tratado como constante (pois não depende de
). A derivada de
em relação a
é
. Portanto a contribuição desse termo é
Agora, ao derivar em relação a
Segundo termo:
.
Usamos novamente a regra da cadeia. Novamente . Agora
porque
é tratado como constante. Assim
Usamos novamente a regra da cadeia. Novamente
Somando as contribuições:
Passo 5
Dicas rápidas para a prova (curtas e práticas):
- Sempre identifique qual variável você está diferenciando e trate a outra como constante.
- Separe a função em parcelas (soma de termos) e derive cada uma; some os resultados.
- Para termos do tipo
, use regra da cadeia: multiplica por derivada do “algo”. - Se aparecer produto de funções que dependem da variável (por exemplo
), aplique regra do produto; aqui não foi preciso porque e não dependem da mesma variável quando diferenciamos adequadamente.