Encontre as derivadas parciais de f nos seguintes casos.
f(x, y)=x^{2} \cos y+e^{x y}

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre as derivadas parciais de f para a função
f(x,y)=x^{2}\cos y + e^{x y}.
Informações dadas:
\text{a função }f\text{ depende de duas variáveis }x\text{ e }y.çãá
Perguntas explícitas que vamos responder: calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

O que é uma derivada parcial? Vou explicar de forma direta e útil para a prova. A derivada parcial de f em relação a x mede como f varia quando só mudamos x e mantemos y fixo. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Na prática (em cálculos de prova) usamos regras habituais de derivação (linearidade, regra do produto, regra da cadeia) tratando a outra variável como constante. Vou recapitular rapidamente as regras que usaremos:
  • Derivada da soma: a derivada parcial da soma é a soma das derivadas parciais.
  • Constante multiplicativa: se uma expressão não depende da variável de diferenciação, ela é constante e pode ser factorizada.
  • Regra da cadeia (para exponencial): se temos e^{u(x,y)}, então
\frac{\partial}{\partial x}e^{u(x,y)}=e^{u(x,y)}\cdot \frac{\partial u}{\partial x},
porque a derivada de e^{u} em relação a u é e^{u} e multiplicamos pela derivada de u.

Passo 3

Calculando \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Escrevemos a função e diferenciamos termo a termo:
f(x,y)=x^{2}\cos y + e^{x y}.
Primeiro termo: \;x^{2}\cos y.
Aqui \cos y não depende de x, então, ao derivar em relação a x, tratamos \cos y como constante. A derivada de x^{2} em relação a x é 2x. Portanto a contribuição desse termo é
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\cos y\big)=2x\cos y.
Segundo termo: \;e^{x y}.
Aplicamos a regra da cadeia. Definimos u(x,y)=x y. Então \;e^{x y}=e^{u}. A derivada de e^{u} em relação a x é e^{u}\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}. Como u=x y e y é tratado como constante, temos \dfrac{\partial u}{\partial x}=y. Logo
\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x y}\big)=e^{x y}\cdot y = y e^{x y}.
Somando as contribuições (regra da soma):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x\cos y + y e^{x y}.

Passo 4

Calculando \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Novamente escrevemos a função e diferenciamos termo a termo:
f(x,y)=x^{2}\cos y + e^{x y}.
Primeiro termo: \;x^{2}\cos y.
Agora, ao derivar em relação a y, x^{2} é tratado como constante (pois não depende de y). A derivada de \cos y em relação a y é -\sin y. Portanto a contribuição desse termo é
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}\cos y\big)=x^{2}\cdot (-\sin y) = -x^{2}\sin y.
Segundo termo: \;e^{x y}.
Usamos novamente a regra da cadeia. Novamente u(x,y)=x y. Agora \dfrac{\partial u}{\partial y}=x porque x é tratado como constante. Assim
\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x y}\big)=e^{x y}\cdot x = x e^{x y}.
Somando as contribuições:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-x^{2}\sin y + x e^{x y}.

Passo 5

Dicas rápidas para a prova (curtas e práticas):
  • Sempre identifique qual variável você está diferenciando e trate a outra como constante.
  • Separe a função em parcelas (soma de termos) e derive cada uma; some os resultados.
  • Para termos do tipo e^{\text{algo}}, use regra da cadeia: multiplica por derivada do “algo”.
  • Se aparecer produto de funções que dependem da variável (por exemplo x\cdot g(x)), aplique regra do produto; aqui não foi preciso porque \cos y e x^{2} não dependem da mesma variável quando diferenciamos adequadamente.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x\cos y + y e^{x y}
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=-x^{2}\sin y + x e^{x y}

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