Calcule \int_{\gamma} y d x+z d y+x d z . \quad \gamma é a curva parametrizada pelos segmentos de reta de (0,0,0) a (0,-5,0), e de (0,-5,0) a (0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha da 1-forma
\omega = y\,dx + z\,dy + x\,dz
ao longo da curva \gamma composta por dois segmentos de reta:
  • \gamma_1 de (0,0,0) a (0,-5,0),
  • \gamma_2 de (0,-5,0) a (0,0,1).
    Vamos parametrizar cada segmento e usar
\int_{\gamma} y\,dx + z\,dy + x\,dz =\int_{t_0}^{t_1}\bigl(y\,x'(t)+z\,y'(t)+x\,z'(t)\bigr)\,dt.

Passo 2

Parametrização de \gamma_1:
r_1(t) = \bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr) = \bigl(0,\,-5t,\,0\bigr), \quad t\in[0,1].
Calculamos as derivadas:
x'(t)=0,\quad y'(t)=-5,\quad z'(t)=0,
e avaliamos a forma:
y\,dx = (-5t)\cdot0 = 0, \quad z\,dy = 0\cdot(-5) = 0, \quad x\,dz = 0\cdot0 = 0.
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\int_{\gamma_1}\omega = \int_{0}^{1}0\,dt = 0.

Passo 3

Parametrização de \gamma_2:
r_2(t) = \bigl(0,\,-5+5t,\;t\bigr), \quad t\in[0,1].
As derivadas são
x'(t)=0,\quad y'(t)=5,\quad z'(t)=1.
Substituindo na forma:
y\,dx =(-5+5t)\cdot0 = 0, \quad z\,dy = t\cdot5 = 5t, \quad x\,dz =0\cdot1 = 0.
Portanto
\int_{\gamma_2}\omega =\int_{0}^{1}5t\,dt =5\int_{0}^{1}t\,dt =5\cdot\frac{1}{2} =\frac{5}{2}.

Passo 4

Somando as contribuições de \gamma_1 e \gamma_2, obtemos
\int_{\gamma}\omega =\int_{\gamma_1}\omega+\int_{\gamma_2}\omega =0+\frac{5}{2} =\frac{5}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2}

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