Seja \gamma_{1} a curva parametrizada por \vec{r}_{1}(t)=t \vec{i}+t \vec{j}+t \vec{k}, 0 \leq t \leq \frac{1}{2} e \gamma_{2} a curva parametrizada por \vec{r}(t)=\sin t \vec{i}+\sin t \vec{j}+\sin t \vec{k}, 0 \leq t \leq \frac{\pi}{6}. Calcule
\int_{\gamma_{1}}(x y+z) d s \text { e } \int_{\gamma_{2}}(x y+z) d s
As respostas são iguais? Explique.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as integrais de linha de função escalar
f(x,y,z)=x\,y+z
ao longo de duas curvas \gamma_1 e \gamma_2, usando ds (elemento de comprimento de arco). O conteúdo principal é a definição de integral de linha de uma função escalar:
Como ambas as integrais deram \tfrac{\sqrt{3}}{6}, concluímos que são iguais. A explicação é que as duas curvas têm a mesma imagem—é o segmento de reta em que x=y=z de (0,0,0) até (\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12)—e a integral de uma função escalar em ds só depende do trajeto geométrico, não da parametrização.