Seja \gamma_{1} a curva parametrizada por \vec{r}_{1}(t)=t \vec{i}+t \vec{j}+t \vec{k}, 0 \leq t \leq \frac{1}{2} e \gamma_{2} a curva parametrizada por \vec{r}(t)=\sin t \vec{i}+\sin t \vec{j}+\sin t \vec{k}, 0 \leq t \leq \frac{\pi}{6}. Calcule
\int_{\gamma_{1}}(x y+z) d s \text { e } \int_{\gamma_{2}}(x y+z) d s
As respostas são iguais? Explique.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as integrais de linha de função escalar
f(x,y,z)=x\,y+z
ao longo de duas curvas \gamma_1 e \gamma_2, usando ds (elemento de comprimento de arco). O conteúdo principal é a definição de integral de linha de uma função escalar:
\int_\gamma f(x,y,z)\,ds=\int_{a}^{b}f\bigl(\vec r(t)\bigr)\,\bigl\|\vec r\,'(t)\bigr\|\,dt.

Passo 2

Para \gamma_1, temos
\vec r_1(t)=(t,t,t),\quad 0\le t\le\tfrac12.
Então
f\bigl(\vec r_1(t)\bigr)=t\cdot t + t = t^2 + t,
\bigl\|\vec r_1'(t)\bigr\| =\bigl\|(1,1,1)\bigr\| =\sqrt{1+1+1} =\sqrt{3}.
Logo
\int_{\gamma_1}(x\,y+z)\,ds =\int_{0}^{\tfrac12}(t^2+t)\,\sqrt{3}\,dt =\sqrt{3}\Bigl[\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}\Bigr]_{0}^{\tfrac12} =\frac{\sqrt{3}}{6}.

Passo 3

Para \gamma_2, temos
\vec r_2(t)=(\sin t,\sin t,\sin t),\quad 0\le t\le\tfrac{\pi}{6}.
Então
f\bigl(\vec r_2(t)\bigr) =\sin^2t+\sin t,
\vec r_2'(t)=(\cos t,\cos t,\cos t) \quad\Longrightarrow\quad \bigl\|\vec r_2'(t)\bigr\| =\sqrt{3}\,\cos t \quad(\cos t\ge0\text{ em }[0,\tfrac\pi6]).
Assim
\int_{\gamma_2}(x\,y+z)\,ds =\int_{0}^{\tfrac\pi6}(\sin^2t+\sin t)\,\sqrt{3}\cos t\,dt.
Fazendo u=\sin t\Rightarrow du=\cos t\,dt, quando t=0 vem u=0 e quando t=\tfrac\pi6 vem u=\tfrac12. A integral vira
\sqrt{3}\int_{0}^{\tfrac12}(u^2+u)\,du =\sqrt{3}\Bigl[\frac{u^3}{3}+\frac{u^2}{2}\Bigr]_{0}^{\tfrac12} =\frac{\sqrt{3}}{6}.

Passo 4

Como ambas as integrais deram \tfrac{\sqrt{3}}{6}, concluímos que são iguais. A explicação é que as duas curvas têm a mesma imagem—é o segmento de reta em que x=y=z de (0,0,0) até (\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12)—e a integral de uma função escalar em ds só depende do trajeto geométrico, não da parametrização.

Resposta

\int_{\gamma_{1}}(x\,y+z)\,ds =\frac{\sqrt{3}}{6}, \qquad \int_{\gamma_{2}}(x\,y+z)\,ds =\frac{\sqrt{3}}{6}.
Sim, as respostas são iguais.

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