Calcule as integrais de linha dadas na forma \int F_{1}(x, y, z) d x+F_{2}(x, y, z) d y+F_{3}(x, y, z) d z
\int_{\gamma} x \ln \left(\frac{x z}{y}\right) d x+\cos \left(\frac{\pi x y}{z}\right) d y , \gamma é a curva parametrizada por \vec{r}=t \vec{i}+t^{2} \vec{j}+t^{3} \vec{k}, 1 \leq t \leq 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{\gamma} x \ln\!\Bigl(\tfrac{x z}{y}\Bigr)\,dx \;+\;\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi x y}{z}\Bigr)\,dy
ao longo da curva \gamma parametrizada por
\vec r(t) = t\,\vec i + t^2\,\vec j + t^3\,\vec k, \quad 1\le t\le2.
O método é usar parametrização: escrever x,y,z e seus diferenciais em função de t, substituir na integral e calcular a integral em t.

Passo 2

Da parametrização extraímos
x(t)=t,\quad y(t)=t^2,\quad z(t)=t^3,
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dx = dt,\quad dy = 2t\,dt,\quad dz = 3t^2\,dt.

Passo 3

Substituindo em cada termo:
F_1(x,y,z)=x\ln\!\Bigl(\tfrac{xz}{y}\Bigr) \;\Longrightarrow\; F_1\bigl(t,t^2,t^3\bigr) = t\ln\!\Bigl(\tfrac{t\cdot t^3}{t^2}\Bigr) = t\ln(t^2),
F_2(x,y,z)=\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi x y}{z}\Bigr) \;\Longrightarrow\; F_2\bigl(t,t^2,t^3\bigr) =\cos\!\Bigl(\tfrac{\pi\,t\cdot t^2}{t^3}\Bigr) =\cos(\pi)=-1,
e F_3=0. Logo a integral fica
\int_{1}^{2}\bigl[t\ln(t^2)\bigr]\,(dt) \;+\;(-1)\,(2t\,dt) =\int_{1}^{2}\bigl[t\ln(t^2)-2t\bigr]\,dt.

Passo 4

Simplificando o integrando:
t\ln(t^2) = 2\,t\ln(t),
portanto
\int_{1}^{2}\bigl[t\ln(t^2)-2t\bigr]\,dt =\int_{1}^{2}\bigl[2t\ln(t)-2t\bigr]\,dt =2\int_{1}^{2}t\ln(t)\,dt \;-\;2\int_{1}^{2}t\,dt.

Passo 5

Calculamos separadamente
\displaystyle \int t\ln(t)\,dt por partes, com
u=\ln(t), dv=t\,dt, du=dt/t, v=t^2/2.
Isso dá
\int t\ln(t)\,dt =\frac{t^2}{2}\ln(t)-\int\frac{t^2}{2}\cdot\frac{1}{t}\,dt =\frac{t^2}{2}\ln(t)-\frac{1}{2}\int t\,dt =\frac{t^2}{2}\ln(t)-\frac{t^2}{4}+C.
E também
\displaystyle \int t\,dt = \tfrac{t^2}{2}+C.

Passo 6

Retornando ao valor definido,
2\int_{1}^{2}t\ln(t)\,dt =2\Bigl[\frac{t^2}{2}\ln(t)-\frac{t^2}{4}\Bigr]_{1}^{2} =\bigl[t^2\ln(t)-\tfrac{t^2}{2}\bigr]_{1}^{2},
2\int_{1}^{2}t\,dt =\bigl[t^2\bigr]_{1}^{2}=4-1=3.
Então a integral total vale
\bigl[\,t^2\ln(t)-\tfrac{t^2}{2}\bigr]_{1}^{2}\;-\;3 =\Bigl(4\ln2-2\Bigr)\;-\;\Bigl(0-\tfrac12\Bigr)\;-\;3 =4\ln2-2+\tfrac12-3 =4\ln2-\tfrac{11}{2}.
Para pôr em forma única, note que
4\ln2-\frac{11}{2} =\frac{8\ln2-11}{2} =\frac{48\ln2-77}{18}.

Resposta

\frac{48\ln(2)-77}{18}.

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