Calcule as integrais de linha dadas na forma \int F_{1}(x, y, z) d x+F_{2}(x, y, z) d y+F_{3}(x, y, z) d z
\int_{\gamma} \frac{1}{1+x^{2}} d x+\frac{2}{1+y^{2}} d y. \gamma é a parte do círculo unitário passando pelos pontos (1,0),(0,1).

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\int_{\gamma}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx+\frac{2}{1+y^{2}}\,dy
ao longo da parte do círculo unitário que vai de (1,0) a (0,1). O conteúdo envolve parametrizar a curva e usar substituições em integrais de função trigonométrica.

Passo 2

Parametrizamos \gamma por
x=\cos t,\quad y=\sin t,
com t variando de 0 (em (1,0)) até \pi/2 (em (0,1)).

Passo 3

Calculamos as derivadas da parametrização:
dx=-\sin t\,dt, \qquad dy=\cos t\,dt.

Passo 4

Substituindo em \int P\,dx+Q\,dy obtemos
\int_{0}^{\pi/2}\Bigl(\frac{1}{1+\cos^{2}t}(-\sin t) +\frac{2}{1+\sin^{2}t}\cos t\Bigr)\,dt.
Separamos em duas integrais I_1 e I_2.

Passo 5

Para
I_{1}=-\int_{0}^{\pi/2}\frac{\sin t}{1+\cos^{2}t}\,dt
fazemos u=\cos t, du=-\sin t\,dt. Então
I_{1}=\int_{u(0)=1}^{u(\pi/2)=0}\frac{du}{1+u^{2}} =\bigl[\arctan u\bigr]_{1}^{0} =0-\frac{\pi}{4} =-\frac{\pi}{4}.

Passo 6

Para
I_{2}=\int_{0}^{\pi/2}\frac{2\cos t}{1+\sin^{2}t}\,dt
usamos v=\sin t, dv=\cos t\,dt. Logo
I_{2}=2\int_{v(0)=0}^{v(\pi/2)=1}\frac{dv}{1+v^{2}} =2\bigl[\arctan v\bigr]_{0}^{1} =2\cdot\frac{\pi}{4} =\frac{\pi}{2}.

Passo 7

Somando I_{1}+I_{2} vem
-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2} =\frac{\pi}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4}

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