Seja uma curva parametrizada por \vec{r}(t)= x(t) \vec{i}+y(t) \vec{j}+z(t) \vec{k}, \quad a \leq t \leq b, tal que x(t)=k é constante. Seja M(x, y, z) uma função contínua. Calcule
\int_{\gamma} M(x, y, z) d x

Passo 1

O enunciado dá uma curva \gamma parametrizada por
\displaystyle \vec{r}(t)=x(t)\,\vec{i}+y(t)\,\vec{j}+z(t)\,\vec{k}, a\le t\le b,
e informa que x(t)=k é constante. Pede-se calcular a integral de linha
\int_{\gamma}M(x,y,z)\,dx.

Passo 2

Pela definição de integral de linha em coordenadas paramétricas, tem-se
\int_{\gamma}M(x,y,z)\,dx =\int_{a}^{b}M\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\,x'(t)\,dt.

Passo 3

Como x(t)=k é constante, segue que
x'(t)=0\quad\forall\,t\in[a,b].
Logo o integrando fica identicamente zero e
\int_{a}^{b}M\bigl(x(t),y(t),z(t)\bigr)\,x'(t)\,dt =\int_{a}^{b}0\,dt=0.

Resposta

0.

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