Calcule
\int_{\gamma} z d y-x d z, sendo \gamma a intersecção do elipsóide \frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{6}=\frac{4}{3} com o plano x+z=2, orientada de modo que sua projeção no plano O x y seja percorrida uma vez no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do integral de linha
\oint_{\gamma} z\,dy \;-\; x\,dz
onde \gamma é a curva fechada dada pela interseção do elipsóide
\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{4} + \frac{z^{2}}{6} = \frac{4}{3}
com o plano
x + z = 2,
orientada de forma que sua projeção no plano Oxy seja percorrida no sentido anti-horário.
Conteúdo: Teorema de Stokes em \mathbb{R}^3. Vamos usar Stokes para converter o integral de linha numa integral de superfície.

Passo 2

Definimos o campo vetorial
\mathbf F(x,y,z) = \bigl(P,Q,R\bigr) = \bigl(0,\;z,\;-x\bigr)
de modo que P\,dx + Q\,dy + R\,dz = z\,dy - x\,dz.
Calculamos seu rotacional:
\nabla \times \mathbf F = \begin{vmatrix} \mathbf e_x & \mathbf e_y & \mathbf e_z\\[6pt] \partial_x & \partial_y & \partial_z\\[3pt] 0 & z & -x \end{vmatrix} = \bigl(\partial_y(-x)-\partial_z(z),\;\partial_z(0)-\partial_x(-x),\;\partial_x(z)-\partial_y(0)\bigr) = (-1,\;1,\;0).]

Passo 3

Escolhemos a superfície S como a parte do plano x+z=2 limitada por \gamma.
Escrevemos esse plano como gráfico
z = 2 - x.
Nesse caso, o elemento de área vetorial orientado é
d\mathbf S = (-\tfrac{\partial z}{\partial x},\,-\tfrac{\partial z}{\partial y},\,1)\,dx\,dy = (1,\,0,\,1)\,dx\,dy,
cujo vetor normal tem componente z positiva, garantindo que a orientação induzida em \gamma projete-se no xy no sentido anti-horário, conforme exigido.

Passo 4

A projeção de \gamma no plano xy é a região D determinada por
substituir z=2-x no elipsóide:
\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{4} + \frac{(2-x)^2}{6} = \frac{4}{3} \;\Longrightarrow\; \frac{(x-1)^2}{3} + \frac{y^2}{4} = 1.
Portanto D é uma elipse de semi-eixos a=\sqrt{3} (em x) e b=2 (em y). Sua área é
\mathrm{Area}(D) = \pi\,a\,b = 2\pi\sqrt{3}.

Passo 5

Pelo Teorema de Stokes,
\oint_{\gamma} z\,dy - x\,dz = \iint_{S} (\nabla\times \mathbf F)\cdot d\mathbf S = \iint_{D} (-1,\,1,\,0)\cdot(1,0,1)\,dx\,dy = \iint_{D} (-1)\,dx\,dy = -\mathrm{Area}(D) = -2\pi\sqrt{3}.

Resposta

-2\pi\sqrt{3}.

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