Calcule \int_{\gamma} z d y-x d z, sendo \gamma a intersecção do elipsóide \frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{4}+\frac{z^{2}}{6}=\frac{4}{3} com o plano x+z=2, orientada de modo que sua projeção no plano O x y seja percorrida uma vez no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do integral de linha
\oint_{\gamma} z\,dy \;-\; x\,dz
onde \gamma é a curva fechada dada pela interseção do elipsóide
orientada de forma que sua projeção no plano Oxy seja percorrida no sentido anti-horário.
Conteúdo: Teorema de Stokes em \mathbb{R}^3. Vamos usar Stokes para converter o integral de linha numa integral de superfície.
Escolhemos a superfície S como a parte do plano x+z=2 limitada por \gamma.
Escrevemos esse plano como gráfico
z = 2 - x.
Nesse caso, o elemento de área vetorial orientado é
d\mathbf S = (-\tfrac{\partial z}{\partial x},\,-\tfrac{\partial z}{\partial y},\,1)\,dx\,dy = (1,\,0,\,1)\,dx\,dy,
cujo vetor normal tem componente z positiva, garantindo que a orientação induzida em \gamma projete-se no xy no sentido anti-horário, conforme exigido.
Passo 4
A projeção de \gamma no plano xy é a região D determinada por
substituir z=2-x no elipsóide: