(2,0 pontos) Determine o raio e o intervalo de convergència da série de potèncias
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{3 n+2}{5 n+7}\right)^{n} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{3n+2}{5n+7}\Bigr)^{n}x^{n}.
O conteúdo principal é o teste da raiz para séries de potências: usamos
\lim_{n\to\infty}\bigl|a_n x^n\bigr|^{1/n}<1
para achar o raio R, onde a_n=\bigl(\tfrac{3n+2}{5n+7}\bigr)^n.

Passo 2

Calculemos
a_n^{1/n}=\frac{3n+2}{5n+7}.
Como n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}a_n^{1/n} =\lim_{n\to\infty}\frac{3n+2}{5n+7} =\frac{3}{5}.

Passo 3

Pelo teste da raiz, a série converge se
\lim_{n\to\infty}\bigl|a_n x^n\bigr|^{1/n} =|x|\;\lim_{n\to\infty}a_n^{1/n} =|x|\;\frac{3}{5}<1.
Logo o raio de convergência é
R=\frac{1}{\tfrac{3}{5}}=\frac{5}{3}.

Passo 4

Agora checamos os extremos. Para x=\tfrac{5}{3}, o termo geral é
\Bigl(\frac{3n+2}{5n+7}\Bigr)^{n}\Bigl(\frac{5}{3}\Bigr)^{n} =\Bigl(\frac{15n+10}{15n+21}\Bigr)^{n} =\Bigl(1-\frac{11}{15n+21}\Bigr)^{n}.
Como n\to\infty, isso tende a e^{-11/15}\neq0, então não satisfaz condição de termo geral-nulo e diverge.

Passo 5

Para x=-\tfrac{5}{3}, o módulo do termo é igual ao caso positivo e o fator alternante não zera o termo geral. Também temos
\Bigl(1-\frac{11}{15n+21}\Bigr)^{n}\not\to0,
logo diverge.

Resposta

O raio de convergência é R=\tfrac{5}{3} e o intervalo de convergência é
(-\tfrac{5}{3},\,\tfrac{5}{3})
(sem convergência nas extremidades).

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