Calcule as seguintes integrais de linha ao longo da curva indicada:
\int_{\gamma}\left(x-2 y^{2}\right) d y, \gamma é o arco da parábola y=x^{2} de (-2,4) a (1,1).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha \displaystyle \int_{\gamma}(x-2y^2)\,dy
ao longo da curva \gamma dada pela parábola y=x^2 do ponto (-2,4) até (1,1).
O conteúdo aqui é parametrização de curvas em \mathbb{R}^2 e cálculo de integrais de linha.

Passo 2

Parametrizamos a curva por \gamma(t)=(t,t^2) com t\in[-2,1].
Então
x(t)=t,\quad y(t)=t^2,\quad dy = y'(t)\,dt = 2t\,dt

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int_{\gamma}(x-2y^2)\,dy = \int_{-2}^{1}\bigl(t-2t^4\bigr)\,(2t)\,dt = \int_{-2}^{1}(2t^2-4t^5)\,dt

Passo 4

Calculamos a antiderivada:
\int (2t^2-4t^5)\,dt = \frac{2}{3}t^3 - \frac{2}{3}t^6
e avaliamos de -2 até 1:
\left[\frac{2}{3}t^3 - \frac{2}{3}t^6\right]_{-2}^{1} = \bigl(\tfrac{2}{3}-\tfrac{2}{3}\bigr) - \bigl(-\tfrac{16}{3}-\tfrac{128}{3}\bigr) = 48

Resposta

48

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