Calcule \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{d x}{x^{2}+b x+c} se b^{2}-4 c<0.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^{2}+b\,x+c}
sob a condição \,b^{2}-4c<0. O conteúdo principal é integrar uma função racional usando completar o quadrado e a primitiva do tipo \int du/(u^{2}+a^{2}).

Passo 2

Vamos completar o quadrado no denominador:
x^{2}+b\,x+c = \Bigl(x+\tfrac{b}{2}\Bigr)^{2} + \Bigl(c - \tfrac{b^{2}}{4}\Bigr).
Definimos
a^{2} = c - \tfrac{b^{2}}{4}.
Como b^{2}-4c<0, segue 4c - b^{2}>0 e portanto a>0.

Passo 3

Fazendo a mudança de variável
u = x + \tfrac{b}{2},
a integral se torna
\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{(x + \tfrac{b}{2})^{2} + a^{2}} = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{du}{u^{2} + a^{2}}.

Passo 4

Sabemos que
\int\frac{du}{u^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr).
Logo, avaliando de u\to-\infty até u\to+\infty, obtemos
\frac{1}{a}\Bigl[\arctan\bigl(\tfrac{u}{a}\bigr)\Bigr]_{-\infty}^{+\infty} = \frac{1}{a}\Bigl(\tfrac{\pi}{2}-\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\Bigr) = \frac{\pi}{a}.

Resposta

\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{x^{2}+b\,x+c} = \frac{\pi}{\sqrt{\,c - \tfrac{b^{2}}{4}\,}} = \frac{2\pi}{\sqrt{4c - b^{2}}}.

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