Considere a seguinte equação diferencial
2 x y^{\prime \prime}+(1+x) y^{\prime}+y=0 DATA: 16/07/25.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
2x\,y''+(1+x)\,y'+y=0
que tem coeficientes não constantes e singular regular em x=0. Vamos usar o método de Frobenius (série de potências com expoente r) para encontrar duas soluções linearmente independentes.

Passo 2

Colocamos em forma padrão
y''+P(x)\,y'+Q(x)\,y=0,
com
P(x)=\frac{1+x}{2x}=\frac{1}{2x}+\frac12, \qquad Q(x)=\frac{1}{2x}.
Como xP(x) e x^2Q(x) são analíticos em x=0, há um ponto singular regular e podemos assumir
y(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^{n+r},\quad a_0\neq0.

Passo 3

O polinômio indicial vem de
r(r-1)+p_0\,r+q_0=0,
onde
p_0=\lim_{x\to0}xP(x)=\tfrac12, \qquad q_0=\lim_{x\to0}x^2Q(x)=0.
Logo
r(r-1)+\tfrac12\,r= r\bigl(r-\tfrac12\bigr)=0
e as raízes são
r_1=0,\quad r_2=\tfrac12.

Passo 4

Derivando a recorrência geral substituindo no ODE, obtemos para cada r
a_{n+1}=-\frac{n+r+1}{(n+1+r)\,(2n+2r+1)}\,a_n.
Em particular:
  • Para r=0:
a_{n+1}=-\frac{a_n}{2n+1}.
  • Para r=\tfrac12:
a_{n+1}=-\frac{a_n}{2(n+1)}.

Passo 5

Solução com r=0. Tomando a_0=1, a recorrência dá
a_1=-1,\; a_2=\tfrac13,\; a_3=-\tfrac{1}{3\cdot5},\;\dots
Logo
y_1(x) =\sum_{n=0}^\infty a_n\,x^n =1 - x + \tfrac13x^2 - \tfrac{1}{3\cdot5}x^3 + \cdots.

Passo 6

Solução com r=\tfrac12. Tomando b_n=a_n e b_0=1, a recorrência é
b_{n}=\frac{(-1)^n}{2^n\,n!},
então
y_2(x) =x^{1/2}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2^n\,n!}\,x^n =x^{1/2}e^{-x/2}.

Passo 7

Como as raízes do indicial não diferem de inteiro, as duas séries são independentes. A solução geral é
y(x)=C_1\,y_1(x)+C_2\,y_2(x) =C_1\Bigl(1 - x + \tfrac13x^2 - \cdots\Bigr) + C_2\,x^{1/2}e^{-x/2}.

Resposta

y(x)=C_1\sum_{n=0}^\infty a_n x^n + C_2\,x^{1/2}e^{-x/2},
onde \displaystyle a_{0}=1, \displaystyle a_{n+1}=-\tfrac{a_n}{2n+1}.

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