Considere a seguinte equação diferencial
DATA: 16/07/25.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
que tem coeficientes não constantes e singular regular em
. Vamos usar o método de Frobenius (série de potências com expoente
) para encontrar duas soluções linearmente independentes.
Passo 2
Colocamos em forma padrão
com
Como
e
são analíticos em
, há um ponto singular regular e podemos assumir
Passo 3
O polinômio indicial vem de
onde
Logo
e as raízes são
Passo 4
Derivando a recorrência geral substituindo no ODE, obtemos para cada
Em particular:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Solução com
. Tomando
, a recorrência dá
Logo
Passo 6
Solução com
. Tomando
e
, a recorrência é
então
Passo 7
Como as raízes do indicial não diferem de inteiro, as duas séries são independentes. A solução geral é
Resposta
onde
,
.