(2 pontos) Ache a solução geral da equação diferencial dada
y^{\prime}(t)+\tan (t) y(t)=t \operatorname{sen}(2 t)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem linear
y'(t)+\tan(t)\,y(t)=t\sin(2t).
O conteúdo aqui é o método do fator integrante para equações lineares da forma
y'+p(t)\,y=g(t).

Passo 2

Identificamos
p(t)=\tan(t), \quad g(t)=t\sin(2t).
Para usar o fator integrante, precisamos calcular
\mu(t)=\exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) =\exp\Bigl(\int \tan(t)\,dt\Bigr).

Passo 3

Calculamos o integral
\int \tan(t)\,dt =\int \frac{\sin t}{\cos t}\,dt =-\ln\bigl|\cos t\bigr|+K,
logo, desprezando constante multiplicativa,
\mu(t)=e^{-\ln(\cos t)}=\frac1{\cos t}.

Passo 4

Multiplicando a equação original por \mu(t)=1/\cos t, obtemos
\frac{y'(t)}{\cos t}+\frac{\tan(t)}{\cos t}\,y(t) =\frac{t\sin(2t)}{\cos t}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada de y(t)\mu(t), pois
\bigl(y\mu\bigr)' = y'\mu + y\,\mu' = \frac{y'}{\cos t} + y\frac{d}{dt}\Bigl(\frac1{\cos t}\Bigr) = \frac{y'}{\cos t} + y\frac{\sin t}{\cos^2 t} = \frac{y'}{\cos t} + \frac{\tan t}{\cos t}\,y.
Logo
\bigl(y(t)\operatorname{sec} t\bigr)' =\frac{t\sin(2t)}{\cos t}.

Passo 5

Simplificamos o lado direito usando \sin(2t)=2\sin t\cos t:
\frac{t\sin(2t)}{\cos t} =2t\sin t.
Integrando ambos os lados em t,
y(t)\operatorname{sec} t =\int 2t\sin t\,dt.
Fazemos integração por partes em \displaystyle\int 2t\sin t\,dt:
se u=2t, dv=\sin t\,dt, então du=2\,dt, v=-\cos t.
\int 2t\sin t\,dt =-2t\cos t + \int 2\cos t\,dt =-2t\cos t +2\sin t + C.

Passo 6

Voltando a y(t), multiplicamos por \cos t:
y(t) =\bigl(-2t\cos t+2\sin t+C\bigr)\cos t =-2t\cos^2t+2\sin t\cos t+C\cos t.
Podemos usar \cos^2t=(1+\cos2t)/2 e \sin t\cos t=\tfrac12\sin2t para escrever
y(t) =-2t\frac{1+\cos2t}2 +2\frac{\sin2t}2 +C\cos t =-t -t\cos2t +\sin2t +C\cos t.

Resposta

A solução geral é
\boxed{ y(t)=-t -t\cos(2t)+\sin(2t)+C\cos(t), }
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados