1. Calcule \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) d t\) onde \(f(t)= \begin{cases}1, & \text { se }|t| \leq 1 \\\\ 0, & \text { se }|t|>1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,dt
onde f\) é dada por \[f(t)=\begin{cases} 1, & \text{se }|t|\leq 1,\\[4pt] 0, & \text{se }|t|>1. \end{cases}
Informações relevantes: f(t)\] vale \(1 para todos os t no intervalo [-1,1] e vale 0 para todo t fora desse intervalo. A integral pedida é sobre toda a reta real, dos -\infty até +\infty.]

Passo 2

Vamos formalizar a forma de tratar uma integral no intervalo (-\infty,\infty). Quando temos uma integral sobre toda a reta, usamos a definição por limites:
\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,dt = \lim_{R\to\infty}\int_{-R}^{R} f(t)\,dt.
Aqui a ideia é aproximar a integral no infinito por integrais em intervalos simétricos e depois fazer R ficar arbitrariamente grande. Nesta fórmula, R é um número real positivo que cresce até o infinito; o integrando é sempre f(t).

Passo 3

Usamos a informação da definição de f: como f(t)=0 para |t|>1, então, se escolhermos qualquer R\geq 1, a integral de -R a R só “vê” valores não nulos de f dentro de [-1,1]. Logo, para todo R\geq 1,
\int_{-R}^{R} f(t)\,dt = \int_{-1}^{1} f(t)\,dt.
Isto decorre do fato de que em (-R,-1) e em (1,R) a função vale zero, então essas porções não contribuem para a integral. Estou usando aqui explicitamente a informação do enunciado sobre f.

Passo 4

No intervalo [-1,1] temos f(t)=1. Portanto
\int_{-1}^{1} f(t)\,dt = \int_{-1}^{1} 1\,dt.
Agora uma pequena aula rápida: a integral de uma constante c em um intervalo [a,b] é dada por
\int_{a}^{b} c\,dt = c\,(b-a).
Isso vem do fato de que uma função constante tem primitiva F(t)=ct, então \int_a^b c\,dt = F(b)-F(a)=c b - c a = c(b-a). Aplicando isso com c=1, a=-1, b=1, obtemos
\int_{-1}^{1} 1\,dt = 1\cdot(1-(-1)) = 1\cdot 2 = 2.

Passo 5

Voltando ao limite da Passo 2: para todo R\geq 1 temos \int_{-R}^{R} f(t)\,dt = 2. Então o limite quando R\to\infty é simplesmente 2:
\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,dt = \lim_{R\to\infty}\int_{-R}^{R} f(t)\,dt = \lim_{R\to\infty} 2 = 2.

Passo 6

Interpretação geométrica (pra ajudar a fixar): f é a função indicadora do intervalo [-1,1], ou seja, um retângulo de altura 1 e largura 2. A integral é a área sob esse retângulo, logo área =1\times 2=2. Você conseguiu — é um problema que assusta menos quando a gente pensa em área!

Resposta

2

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