- Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde
Informações relevantes:
para todos os
no intervalo
e vale
para todo
fora desse intervalo. A integral pedida é sobre toda a reta real, dos
até
.]
Passo 2
Vamos formalizar a forma de tratar uma integral no intervalo
. Quando temos uma integral sobre toda a reta, usamos a definição por limites:
Aqui a ideia é aproximar a integral no infinito por integrais em intervalos simétricos e depois fazer
ficar arbitrariamente grande. Nesta fórmula,
é um número real positivo que cresce até o infinito; o integrando é sempre
.
Passo 3
Usamos a informação da definição de
: como
para
, então, se escolhermos qualquer
, a integral de
a
só “vê” valores não nulos de
dentro de
. Logo, para todo
,
Isto decorre do fato de que em
e em
a função vale zero, então essas porções não contribuem para a integral. Estou usando aqui explicitamente a informação do enunciado sobre
.
Passo 4
No intervalo
temos
. Portanto
Agora uma pequena aula rápida: a integral de uma constante
em um intervalo
é dada por
Isso vem do fato de que uma função constante tem primitiva
, então
. Aplicando isso com
,
,
, obtemos
Passo 5
Voltando ao limite da Passo 2: para todo
temos
. Então o limite quando
é simplesmente
:
Passo 6
Interpretação geométrica (pra ajudar a fixar):
é a função indicadora do intervalo
, ou seja, um retângulo de altura
e largura
. A integral é a área sob esse retângulo, logo área
. Você conseguiu — é um problema que assusta menos quando a gente pensa em área!