Calcule
\int_{0}^{2} \int_{x^{2}}^{2 x}\left(x^{3}+4 y\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{2}\int_{x^{2}}^{2x}\bigl(x^{3}+4y\bigr)\,dy\,dx.
O conteúdo aqui é integração dupla em ordem dy\,dx: primeiro integramos em y mantendo x fixo, depois em x.

Passo 2

Integramos a função interna em y. Como x é tratado como constante, temos
\int\bigl(x^{3}+4y\bigr)\,dy =\int x^{3}\,dy+\int 4y\,dy =x^{3}y+2y^{2}.

Passo 3

Avaliamos x^{3}y+2y^{2} de y=x^{2} até y=2x:
\Bigl[x^{3}y+2y^{2}\Bigr]_{y=x^{2}}^{y=2x} =\bigl(2x\cdot x^{3}+2\,(2x)^{2}\bigr)-\bigl(x^{2}\cdot x^{3}+2\,(x^{2})^{2}\bigr) =-x^{5}+8x^{2}.
Logo a integral original vira
\int_{0}^{2}\bigl(-x^{5}+8x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 4

Agora integramos em x:
\int\bigl(-x^{5}+8x^{2}\bigr)\,dx =-\frac{x^{6}}{6}+\frac{8x^{3}}{3}.

Passo 5

Avaliamo-se essa primitiva de x=0 a x=2:
\Bigl[-\tfrac{x^{6}}{6}+\tfrac{8x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{2} =-\frac{2^{6}}{6}+\frac{8\cdot2^{3}}{3} =-\frac{64}{6}+\frac{64}{3} =-\frac{32}{3}+\frac{64}{3} =\frac{32}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{32}{3}

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