Calcule.
\int_{-2}^{-1}\left(\frac{1}{x^{2}}+x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-2}^{-1}\Bigl(\frac{1}{x^{2}} + x\Bigr)\,dx.
O conteúdo é aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo: encontrar uma antiderivada e fazer F(b)-F(a).

Passo 2

Usamos a linearidade da integral para separar em duas integrais mais simples:
\int_{-2}^{-1}\frac{1}{x^{2}}\,dx \;+\;\int_{-2}^{-1}x\,dx.

Passo 3

Calculamos antiderivadas individuais. Sabemos que
a) \displaystyle \int x^{-2}\,dx = -\,x^{-1} + C
b) \displaystyle \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2} + C
Logo uma antiderivada comum é
F(x) = -\frac{1}{x} \;+\;\frac{x^{2}}{2}.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{-2}^{-1}\Bigl(\frac{1}{x^{2}}+x\Bigr)\,dx = F(-1) - F(-2).
Calculamos
F(-1) = -\frac{1}{-1} + \frac{(-1)^{2}}{2} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2},
F(-2) = -\frac{1}{-2} + \frac{(-2)^{2}}{2} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}.

Passo 5

Basta subtrair:
F(-1) - F(-2) = \frac{3}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{2}{2} = -1.

Resposta

-1

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