Calcule.
\int_{-2}^{1}\left(x^{2}-1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-2}^{1}\bigl(x^{2}-1\bigr)\,dx
O conteúdo aqui é integração de polinômios e uso do Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que basta encontrar uma primitiva F(x) de x^2-1 e avaliar F(1)-F(-2).

Passo 2

Vamos achar a primitiva de x^2-1. Sabemos que
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}
e
\int (-1)\,dx = -x.
Portanto, uma primitiva é
F(x)=\frac{x^{3}}{3}-x.

Passo 3

Agora avaliamos F nos extremos do intervalo:
F(1)=\frac{1^{3}}{3}-1=\frac{1}{3}-1=-\frac{2}{3},
F(-2)=\frac{(-2)^{3}}{3}-(-2)=\frac{-8}{3}+2=-\frac{8}{3}+\frac{6}{3}=-\frac{2}{3}.

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{-2}^{1}\bigl(x^{2}-1\bigr)\,dx = F(1)-F(-2) = \Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr)-\Bigl(-\tfrac{2}{3}\Bigr)=0.

Resposta

0

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