Resolva as integrais abaixo
\int \frac{t^{4}+2 t^{2}-1}{\sqrt{t}} d t

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{t^{4} + 2t^{2} - 1}{\sqrt{t}} \, dt.
Perceba que podemos simplificar cada fração usando propriedades de potências e depois aplicar a fórmula
\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}.

Passo 2

Vamos reescrever termo a termo:
\frac{t^4}{\sqrt{t}} = t^{4 - \tfrac12} = t^{7/2},
\frac{2t^2}{\sqrt{t}} = 2\,t^{2 - \tfrac12} = 2\,t^{3/2},
\frac{-1}{\sqrt{t}} = -\,t^{-\tfrac12}.
Logo o integrando vira
\frac{t^{4} + 2t^{2} - 1}{\sqrt{t}} = t^{7/2} + 2\,t^{3/2} - t^{-1/2}.

Passo 3

Agora integramos cada parcela usando \int t^n\,dt = t^{n+1}/(n+1):
\int t^{7/2}\,dt = \frac{t^{9/2}}{\tfrac{9}{2}} = \frac{2}{9}\,t^{9/2},
\int 2\,t^{3/2}\,dt = 2 \cdot \frac{t^{5/2}}{\tfrac{5}{2}} = \frac{4}{5}\,t^{5/2},
\int \bigl(-t^{-1/2}\bigr)\,dt = -\,\frac{t^{1/2}}{\tfrac12} = -2\,t^{1/2}.

Passo 4

Somando tudo e acrescentando a constante de integração C, temos
\int \frac{t^{4} + 2t^{2} - 1}{\sqrt{t}} \, dt = \frac{2}{9}\,t^{9/2} + \frac{4}{5}\,t^{5/2} - 2\,t^{1/2} + C.

Resposta

\boxed{\frac{2}{9}\,t^{9/2} + \frac{4}{5}\,t^{5/2} - 2\,t^{1/2} + C.}

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