Calcule.
\int_{0}^{2}\left(x^{2}+3 x-3\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2}\bigl(x^{2}+3x-3\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é aplicação do Teorema Fundamental do Cálculo: primeiro encontramos uma primitiva da função f(x)=x^{2}+3x-3 e depois avaliamos essa primitiva nos limites de integração.

Passo 2

Vamos determinar uma primitiva F(x) de f(x)=x^{2}+3x-3. Integramos termo a termo:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}, \qquad \int 3x\,dx = \frac{3x^{2}}{2}, \qquad \int(-3)\,dx = -3x.
Portanto, uma primitiva válida é
F(x) = \frac{x^{3}}{3} \;+\;\frac{3x^{2}}{2}\;-\;3x.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
\int_{0}^{2}\bigl(x^{2}+3x-3\bigr)\,dx = F(2) - F(0).
Calculando cada termo:
F(2) = \frac{2^{3}}{3} + \frac{3\cdot 2^{2}}{2} - 3\cdot 2 = \frac{8}{3} + 6 - 6 = \frac{8}{3},
F(0) = \frac{0^{3}}{3} + \frac{3\cdot 0^{2}}{2} - 3\cdot 0 = 0.
Logo,
\int_{0}^{2}\bigl(x^{2}+3x-3\bigr)\,dx = \frac{8}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{8}{3}

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