(1,0 ponto) Calcule
\int_{0}^{\infty} \frac{x d x}{x^{4}+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty}\frac{x\,dx}{x^{4}+1}.
O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias e o uso de substituição simples para reduzir a integral a uma forma de arco-tangente.

Passo 2

Antes de tudo, verificamos a convergência. Para x\to0, \frac{x}{x^{4}+1}\sim x é integrável em zero. Para x\to\infty, \frac{x}{x^{4}+1}\sim x^{-3}, também integrável em infinito. Logo, a integral converge.

Passo 3

Fazemos a substituição
t = x^{2}, \quad dt = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{dt}{2}.
Quando x varia de 0 a \infty, t varia de 0 a \infty. Assim, a integral torna-se
\int_{0}^{\infty}\frac{x\,dx}{x^{4}+1} = \int_{0}^{\infty}\frac{\frac{dt}{2}}{t^{2}+1} = \frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{t^{2}+1}.

Passo 4

Reconhecemos a integral de arco-tangente:
\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{t^{2}+1} =\Bigl[\arctan(t)\Bigr]_{0}^{\infty} =\frac{\pi}{2}-0=\frac{\pi}{2}.
Portanto,
\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{t^{2}+1} =\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{\pi}{4}.

Resposta

\int_{0}^{\infty}\frac{x\,dx}{x^{4}+1} =\frac{\pi}{4}.

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