Calcule:
\int_{1}^{2}\left(3 x^{2}+\frac{1}{x}-\sqrt{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2}\Bigl(3x^{2}+\frac{1}{x}-\sqrt{x}\Bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é integração de soma de funções elementares: usamos a regra da potência para x^n, a integral de 1/x e a integral de x^{1/2}.

Passo 2

Vamos encontrar uma antiderivada F(x) de 3x^{2}+\frac{1}{x}-\sqrt{x}.
Para cada termo:
  • \displaystyle \int 3x^{2}\,dx = x^{3}.
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln x.
  • \displaystyle \int \sqrt{x}\,dx = \int x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}x^{3/2}.
    Logo
F(x) = x^{3} + \ln x - \frac{2}{3}\,x^{3/2}.

Passo 3

Agora avaliamos F em x=2 e em x=1 e subtraímos:
F(2) = 2^{3} + \ln 2 - \frac{2}{3}\,(2)^{3/2} = 8 + \ln 2 - \frac{2}{3}\cdot 2\sqrt{2} = 8 + \ln 2 - \frac{4\sqrt{2}}{3},
F(1) = 1^{3} + \ln 1 - \frac{2}{3}\,(1)^{3/2} = 1 + 0 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}.

Passo 4

A integral definida é
F(2)-F(1) = \Bigl(8 + \ln 2 - \tfrac{4\sqrt{2}}{3}\Bigr) - \frac{1}{3} = 8 - \frac{1}{3} + \ln 2 - \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{23}{3} + \ln 2 - \frac{4\sqrt{2}}{3}.
Podemos agrupar os termos racionais:
\frac{23 - 4\sqrt{2}}{3} + \ln 2.

Resposta

\frac{23 - 4\sqrt{2}}{3} + \ln 2.

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