8- Use eliminação sistemática para resolver o sistema massa-mola acoplado abaixo, quando k_{1}=4, k_{2}=2, m_{1}=2 e m_{2}=1 e com condições iniciais x_{1}(0)=2, x_{1}{ }^{\prime}(0)=1, x_{2}(0)=-1 e x_{2}{ }^{\prime}(0)=1.
\begin{aligned} & m_{1} x_{1}^{\prime \prime}=-k_{1} x_{1}+k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) \\ & m_{2} x_{2}^{\prime \prime}=-k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} m_{1}x_{1}''=-k_{1}x_{1}+k_{2}(x_{2}-x_{1}),\\\ m_{2}x_{2}''=-k_{2}(x_{2}-x_{1}), \end{cases}
com k_{1}=4, k_{2}=2, m_{1}=2, m_{2}=1 e condições iniciais \;x_{1}(0)=2, x_{1}'(0)=1, x_{2}(0)=-1, x_{2}'(0)=1.
O conteúdo é acoplamento de massas e molas; vamos eliminar sistematicamente x_{2} para obter uma única EDO em x_{1}.

Passo 2

Substituindo os valores, as equações viram
2\,x_{1}''=-4x_{1}+2(x_{2}-x_{1}) \quad\Longrightarrow\quad x_{1}''=-3x_{1}+x_{2},
x_{2}''=-2(x_{2}-x_{1}) \quad\Longrightarrow\quad x_{2}''=2x_{1}-2x_{2}.

Passo 3

Da primeira equação isolamos
x_{2}=x_{1}''+3x_{1}.
Diferenciando-a duas vezes obtemos
x_{2}''=x_{1}''''+3x_{1}''.
Mas pela segunda equação
x_{2}''=2x_{1}-2x_{2} =2x_{1}-2\bigl(x_{1}''+3x_{1}\bigr) =-2x_{1}''-4x_{1}.
Igualando as expressões de x_{2}''
x_{1}''''+3x_{1}''=-2x_{1}''-4x_{1} \;\Longrightarrow\; x_{1}''''+5x_{1}''+4x_{1}=0.

Passo 4

A equação característica é
r^{4}+5r^{2}+4=0 \quad\Longrightarrow\quad (r^{2}+1)(r^{2}+4)=0 \!\Rightarrow r=\pm i,\;\pm2i.
Logo a solução geral de x_{1} é
x_{1}(t) =A\cos t+B\sin t +C\cos2t+D\sin2t.

Passo 5

Para obter x_{2} usamos
x_{2}=x_{1}''+3x_{1}.
Como
x_{1}''=-A\cos t-B\sin t-4C\cos2t-4D\sin2t,
temos
x_{2}(t) =2A\cos t+2B\sin t -C\cos2t-D\sin2t.

Passo 6

Aplicamos as condições em t=0:
x_{1}(0)=A+C=2, \quad x_{2}(0)=2A-C=-1,
x_{1}'(t)=-A\sin t+B\cos t-2C\sin2t+2D\cos2t \;\Rightarrow\; x_{1}'(0)=B+2D=1,
x_{2}'(t)=-2A\sin t+2B\cos t+2C\sin2t-2D\cos2t \;\Rightarrow\; x_{2}'(0)=2B-2D=1.
Resolvendo
\begin{cases} A+C=2,\\\\ 2A-C=-1 \end{cases} \;\Rightarrow\; A=\tfrac13,\;C=\tfrac53, \qquad \begin{cases} B+2D=1,\\\\ 2B-2D=1 \end{cases} \;\Rightarrow\; B=\tfrac23,\;D=\tfrac16.

Passo 7

Substituindo em x_{1}(t) e x_{2}(t):
x_{1}(t) =\tfrac13\cos t+\tfrac23\sin t +\tfrac53\cos2t+\tfrac16\sin2t,
x_{2}(t) =\tfrac23\cos t+\tfrac43\sin t -\tfrac53\cos2t-\tfrac16\sin2t.

Resposta

\boxed{ x_{1}(t) =\tfrac13\cos t+\tfrac23\sin t +\tfrac53\cos2t+\tfrac16\sin2t, \quad x_{2}(t) =\tfrac23\cos t+\tfrac43\sin t -\tfrac53\cos2t-\tfrac16\sin2t. }

Exercícios relacionados